Chủ đề này có 8 trả lời

[vo van duc]

Nhờ anh em giúp đỡ!

Câu 1: Cho $A\in M_{n}( R): A+A^{T}=O$ Chứng minh: $det(I+\alpha A^{2})\geqslant 0$


Câu 2: Cho $A\in M_{4}( R): A^{3}=I$ Tính $det(I+A)$

[okbabi]

Bài 1 :

Do $x_{\alpha}$ chưa biết dương hay âm nên xét 2 trường hợp

* TH1 : Xét $x_{\alpha} \geq 0$ phân tích $(I + xA)^2$ về số phức, sau đó lấy số phức liên hợp của nó, rồi lấy det 2 vế. Do VP có định thức mũ 2 nên suy ra dpcm

** TH2 : Xét $x<0$ đặt $z=\sqrt{-x}$ suy ra $x= -z^2$ kết hợp với giả thiết $ A + A^{\perp}=0$ .Sau đó thay $x=-z^2$ vào biểu thức và kết hợp với lý thuyết về Ma trận chuyển vị, lấy det 2 vế lên suy ra VP có det mũ 2 nên suy ra dpcm.! dễ qá

Bài 2 : tìm khối của A sẽ ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 17-03-2012 - 19:29

[okbabi]

bài này mình xin giải chi tiết như sau:
Bài 1: Do $\alpha$ chưa biết + hay - nên ta xét thành 2 TH
TH1: $\alpha$ $\geqslant$ 0 nên $I+\alpha A = I - (i\sqrt{\alpha }A)^{2}= (I-i\sqrt{\alpha }A)(I+I\sqrt{\alpha }A)$ tới đây phân tích$(I-i\sqrt{\alpha }A)(I+I\sqrt{\alpha }A) thành (I+i\sqrt{\alpha }A)(I+I\sqrt{\alpha }A)$ ( dùng t/c số phức liên hợp ). sau đó lấy định thức 2 vế det($I+\alpha A) = det($[(I+I\sqrt{\alpha }A)$]^{2}$$\geq$0 ==> đpcm
TH2: Do $\alpha \leq 0$ đặt $\beta = -\sqrt{\alpha }==> \alpha = -\beta ^{2}$ ta lại có $I+\alpha A = I - $(\beta A )^{2}$= $(I - \beta A)(I + \beta A)$ mà $A=-A^{t}$ <==> $(I+\beta A^{t})(I+\beta A)=(I^{t}+(\beta A)^{t})(I+\beta A) =(I+\beta A)^{t}(I+\beta A)$ mà $(I+\beta A)^{t}=(I+\beta A)$ nên lấy định thức 2 vế det( $I+\alpha A ) = det$[(I+\beta A)$]^{2}$$\geq 0$ ==> đpcm từ 2 TH trên ==> đpcm. Xong! bài này quá dễ đúng không m.n hy vọng được giao lưu vs m.n ở phú yên nhaz mình là đội tuyển đoàn trường ĐH Hùng Vương TP.HCM !

[vo van duc]

Sao phân tích được vậy chứ?
$I-(i\sqrt{\alpha }A)^{2}=I+\alpha A^{2}\neq I+\alpha A$

[mrsieulonely]

Đúng rồi không phân tích như thế được vì phép nhân trong ma trận có tính phân phối bạn nhé

[Mrnhan]

Câu 1: Cho $A\in M_{n}( R): A+A^{T}=O$ Chứng minh: $det(I+\alpha A^{2})\geqslant 0$


 

Để em trình bày lại:

 

$+) \:\alpha\geq0\to I+\alpha\: A^2=I^2-(i\: \sqrt{\alpha}\: A)^2=\left ( I-i\: \sqrt{\alpha}\: A \right )\left ( I+i\: \sqrt{\alpha}\: A \right )$

 

Nên $\det\left ( I+\alpha\: A^2 \right )=\det\left ( I+i\:\sqrt{\alpha}\: A \right )\: \det\left ( I-i\:\sqrt{\alpha}\: A \right )=|\det\left ( I+i\:\sqrt{\alpha}\: A \right )|^2\geq 0$ $\fbox{đpcm}$

 

$+)\: \alpha<0\to \alpha =-\beta^2\to$ $I+\alpha \: A^2=I^2-(\beta\: A)^2=\left ( I+\beta\: A \right ) \left ( I-\beta\: A \right )=\left ( I+\beta\: A \right ) \left ( I^T+\beta\: A^T \right )$

 

Nên $\det\left ( I+\alpha\: A^2 \right )=\det\left ( I+\beta\: A \right )\det\left ( I^T+\beta\: A^T \right )=\det\left ( I+\beta\: A \right )\det\left ( I+\beta\: A \right )^T=\left [ \det\left ( I+\beta\: A \right ) \right ]^2\geq 0$ $\fbox{đpcm}$

[Mrnhan]

Câu 2: Cho $A\in M_{4}( R): A^{3}=I$ Tính $det(I+A)$

Ta có 

 

$I=A^3\Leftrightarrow 2I=I^3+A^3=\left ( I+A \right )\left ( I^2-IA+A^2 \right )$

 

$\Rightarrow \det\left ( I+A \right )\det\left ( I-A+A^2 \right )=16\: (^*)$

 

Mặt khác

 

$I=A^3 \Rightarrow \det A=1$ và $ I+A=A \left ( I+A^2 \right ) \: (^*\: ^*)$

 

$\Rightarrow 16= \det\left ( I+A^2 \right )\det\left ( I-A+A^2 \right )=\det\left ( A^2-2A+I \right )=\left ( \det\left ( I-A \right ) \right )^2\Leftrightarrow \det\left ( I-A \right )=\pm 4$

 

Từ đó suy ra $\fbox{$\det\left ( I+A \right )=16$}$

 

P/s: Em làm có đúng không anh Đức? Anh có cách nào nhanh hơn ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 21-10-2013 - 10:18

[YeuEm Zayta]

Lời giải chưa chặt,kết quả đúng nhưng chưa đủ.

[YeuEm Zayta]

Mình sẽ đưa ra một cách tính khác chứng tỏ cách giải biến đổi đơn thuần sẽ không tổng quát.
Như khởi đầu của bạn thì: $A(I+A^2)$=$I$+$A$.
16=$det(A+I)(A^2-A+I)$=$detA(I+A^2)(A^2-A+I)$=$det(I+A^2)(I+A-A^2)$=$det(2I+A-A^4)$=$det2(I+A)$=16$det(I+A)$.Vậy :$det(I+A)=1$