Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+2009B)=detA+2009detB$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

Câu 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+2009B)=detA+2009detB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2012 - 11:54

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2
congahoctoan

congahoctoan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đây là bài trong đề dự tuyển Olympic toán sv năm 2009. Mọi người ai có ý tưởng thì chia sẻ với nào!
Bài này cũng đăng lâu lắm rồi! hi

bài này chỉ cần chọn A=B xong chứng minh A=0 là ok phải k mọi người.mình là thành viên mới.hihi:)



#3
quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Câu 1: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n $(n\geqslant 2)$ sao cho với mọi ma trận B vuông cấp n ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

 

Cho $B=A$ thì:

 

$det(A+A)=det A+det A mà det (A+A)=det(2A)=2^ndet A.$ Nhưng do $n \ge 2$ nên $det A=0$.

 

giả sử $0<rank A=r<n$ thì $A=P\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}Q$ . Ta chọn $B=P\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& I_r \end{bmatrix}Q$

 

thì $det (A+B)\not =0$, còn $det A+det B=0+0=0$

vô lí. vậy $rank A=0$ tức $A=0$

 

 

Bài 2 làm tương tự.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 02-12-2014 - 16:12

Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#4
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Nếu $A$ là ma trận lũy kinh thì sao? Với $A$ là ma trận lũy linh thì có thỏa yêu cầu của đề bài ko?

Ta biết rằng với $A$ là ma trận lũy linh thì với mọi ma trận $B$ vuông cùng cấp ta có $$\det (A+B)=\det B$$ và vì $A$ lũy linh nên $\det A=0$.

Như vậy $$\det (A+B)=\det A+\det B$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 03-12-2014 - 07:43

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5
quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

$A,B$ phải đồng dạng thì mới có $det(A+B)=det B$ chứ anh, nếu không lời giải của em phải có lỗi sai chứ ạ @@


Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#6
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết
Tôi thiếu mất điều kiện $A$, $B$ giao hoán để có $$\det (A+B)=\det B$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 03-12-2014 - 07:46

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh