Chủ đề này có 4 trả lời

[vo van duc]

Câu 1: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

Câu 2: Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$

[redline]

Câu 1: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

Câu 2: Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$

Câu 1. Gọi đa thức đặc trưng của $A$ là $p(x)$, thì $p(x)$ là đa thức bậc hai. Khi chia $x^{2010}$ cho $p(x)$ được thương $q(x)$ và dư là một đa thức bậc nhiều nhất là 1, ký hiệu đó là $ux+v$ trong đó $u$ và $v$ là các số thực.
$$x^{2010} = p(x)q(x) + (ux+v).$$
Theo Định lý Cayley-Hamilton, ta có $p(A) =0$. Nên $A^{2010} = uA+vE$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $2$. Giả sử
$A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$.
Từ $uA + vE = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
Suy ra: $ua+v = -1, ud+v = -1-e, ub = 0, uc = 0$. Từ hai phương trình đầu suy ra $u \ne 0$, nên từ hai phương trình cuối suy ra $b = c = 0$. Do đó
$A = \begin{bmatrix} a &0 \\ 0& d \end{bmatrix}$.
Nên $A^{2010} = \begin{bmatrix} a^{2010} &0 \\ 0& d^{2010} \end{bmatrix}$.
Suy ra $a^{2010} = -1$ và $b^{2010} = -1-e$, vô lý. Nên ma trận $A$ không tồn tại.

Câu 2. Chứng minh tương tự. Chỉ cần chứng minh rằng: $A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$, thì $c = 0$. Và do đó suy ra $a^{2010} = -2008$, vô lý, QED.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-01-2013 - 23:45

[okbabi]

hướng dẫn như trên đúng rồi ^^!

[cuong148]

Câu 1: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

Câu 2: Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$

Mình làm câu 2.Câu 1 có vẻ tương tự nhưng có cái e nghe vẻ trình bày phức tạp hơn.
Cái này chéo hóa được mà.Đâu cần dùng Caley làm gì.
Có 2 cái giá trị riêng là -2008 và -2009.từ đây ta tìm được vector riêng.sau đó chéo hóa bên phải bởi$ C^{-1}BC$(cái ma trận bên phải tạm gọi là B,C là ma trận tạo bởi vector riêng theo cột)
và dùng nhận xét $(C^{-1}AC)^{2010}=C^{-1}A^{2010}C$ và ta cũng có được kết quả là không tồn tại như trên. .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 31-01-2013 - 00:30

[letrongvan]

Câu 1. Gọi đa thức đặc trưng của $A$ là $p(x)$, thì $p(x)$ là đa thức bậc hai. Khi chia $x^{2010}$ cho $p(x)$ được thương $q(x)$ và dư là một đa thức bậc nhiều nhất là 1, ký hiệu đó là $ux+v$ trong đó $u$ và $v$ là các số thực.
$$x^{2010} = p(x)q(x) + (ux+v).$$
Theo Định lý Cayley-Hamilton, ta có $p(A) =0$. Nên $A^{2010} = uA+vE$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $2$. Giả sử
$A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$.
Từ $uA + vE = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
Suy ra: $ua+v = -1, ud+v = -1-e, ub = 0, uc = 0$. Từ hai phương trình đầu suy ra $u \ne 0$, nên từ hai phương trình cuối suy ra $b = c = 0$. Do đó
$A = \begin{bmatrix} a &0 \\ 0& d \end{bmatrix}$.
Nên $A^{2010} = \begin{bmatrix} a^{2010} &0 \\ 0& d^{2010} \end{bmatrix}$.
Suy ra $a^{2010} = -1$ và $b^{2010} = -1-e$, vô lý. Nên ma trận $A$ không tồn tại.

Câu 2. Chứng minh tương tự. Chỉ cần chứng minh rằng: $A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$, thì $c = 0$. Và do đó suy ra $a^{2010} = -2008$, vô lý, QED.

Cho mình hỏi nếu A là ma trận bậc 4 thì dùng caylay thế nào? Cũng có P(A)=0 nhưng phương trình caylay đó như thế nào?