Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 569 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 20-01-2012 - 09:25

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2012 - 09:25

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 redline

redline

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-03-2012 - 21:05

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$


Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.

#3 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 31-01-2013 - 12:40

Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.

Mình góp ý một chút.Bạn xem nó có hợp lí không. $Tr(A^T.B^T)=Tr((BA)^{T})=Tr(BA)=Tr(AB).$

#4 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 569 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 31-01-2013 - 17:06

Bài này mình đã đăng từ năm ngoái rồi. Thật không ngờ nay có người lật nó lại. hi

..........................

Tôi cũng góp một cách để giải bài này.

Chúng ta sử dụng bổ đề sau:

"Cho ma trận vuông A. Nếu $Tr(AA^{T})=0$ thì $A=O$"

Việc chứng minh bổ đề trên các bạn có thể dễ dàng chứng minh. hi

Ta sẽ chứng minh $Tr\left ( (A-B^{T})^{T}(A-B^{T}) \right )=0$ suy ra $A-B^{T}=O$

Việc chứng minh này chỉ là áp dụng các phép toán về chuyển vị, phép nhân ma trận để biến đổi ra biểu thức đề cho. Các bạn xử lý tiếp nha!

Về quê rồi. Online bằng điện thoại thôi. Việc gõ Tiếng Việt có dấu cũng khá lâu. Còn gõ Latex thì mệt lắm. hi.

....................
@cuong148

Biều thức em chứng minh có thể áp dụng như thế nào cho bài này? Chia sẽ rỏ hơn về ý tưởng đi em! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 31-01-2013 - 17:17

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5 dangminhtb

dangminhtb

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-01-2013 - 17:11

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$


Ta đi chứng minh bổ đề: Nếu Tr(X.XT)=0 thì X= 0.Dễ dàng chứng minh đc.
Đặt X=A-BT khi đóTr(X.XT)=Tr((A-BT)(AT-B))=Tr(A.AT-AB-BTAT+BTB)=0 (do giả thiết)

Suy ra X=A-BT=0 suy ra A=BT (đpcm)

....................
Cùng ý tưởng! hi

Chú ý viết hoa đầu câu nha bạn! "Giữ gìn sự trong sáng của Tiếng Việt"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 31-01-2013 - 17:26


#6 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 31-01-2013 - 17:53

Bài này mình đã đăng từ năm ngoái rồi. Thật không ngờ nay có người lật nó lại. hi

..........................

Tôi cũng góp một cách để giải bài này.

Chúng ta sử dụng bổ đề sau:

"Cho ma trận vuông A. Nếu $Tr(AA^{T})=0$ thì $A=O$"

Việc chứng minh bổ đề trên các bạn có thể dễ dàng chứng minh. hi

Ta sẽ chứng minh $Tr\left ( (A-B^{T})^{T}(A-B^{T}) \right )=0$ suy ra $A-B^{T}=O$

Việc chứng minh này chỉ là áp dụng các phép toán về chuyển vị, phép nhân ma trận để biến đổi ra biểu thức đề cho. Các bạn xử lý tiếp nha!

Về quê rồi. Online bằng điện thoại thôi. Việc gõ Tiếng Việt có dấu cũng khá lâu. Còn gõ Latex thì mệt lắm. hi.

....................
@cuong148

Biều thức em chứng minh có thể áp dụng như thế nào cho bài này? Chia sẽ rỏ hơn về ý tưởng đi em! hi

Không.em góp ý để chứng minh gọn bài toán hơn thôi. :)
À.Nghĩ lại thì em thấy có thể Chứng Minh thế này

$Tr(A{{A}^{T}}+B{{B}^{T}})=Tr(A{{A}^{T}})+Tr(B{{B}^{T}})=T{{r}^{2}}(A)+T{{r}^{2}}(B)$
$Tr(AB+{{A}^{T}}{{B}^{T}})=2Tr(AB)$
$\Rightarrow TrA=TrB$
Vậy $A=B^T$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 31-01-2013 - 18:01


#7 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 569 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 31-01-2013 - 18:50

Gởi cuong148
..........
Em xem lại lý thuyết nha!

1) $Tr(AB)\neq Tr(A).Tr(B)$ nên $Tr(AA^{T})\neq Tr^{2}(A)$

2) Chổ suy ra $Tr(A)=Tr(B)$ chưa có cơ sở.

3) $Tr(A)=Tr(B)$ thì chưa chắc $A=B$ dù nếu $A=B$ thì $Tr(A)=Tr(B)$

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#8 cuong148

cuong148

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHSP

Đã gửi 31-01-2013 - 23:16

Gởi cuong148
..........
Em xem lại lý thuyết nha!

1) $Tr(AB)\neq Tr(A).Tr(B)$ nên $Tr(AA^{T})\neq Tr^{2}(A)$

2) Chổ suy ra $Tr(A)=Tr(B)$ chưa có cơ sở.

3) $Tr(A)=Tr(B)$ thì chưa chắc $A=B$ dù nếu $A=B$ thì $Tr(A)=Tr(B)$


Em biết em sai rồ[email protected]@. Hôm qua em cũng nghĩ vậy rồi. Không hiểu sao chiều nay lại viết lung tung thế. Sorry anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 07:57





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh