Chủ đề này có 7 trả lời

[vo van duc]

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2012 - 09:25

[redline]

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.

[cuong148]

Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.

Mình góp ý một chút.Bạn xem nó có hợp lí không. $Tr(A^T.B^T)=Tr((BA)^{T})=Tr(BA)=Tr(AB).$

[vo van duc]

Bài này mình đã đăng từ năm ngoái rồi. Thật không ngờ nay có người lật nó lại. hi

..........................

Tôi cũng góp một cách để giải bài này.

Chúng ta sử dụng bổ đề sau:

"Cho ma trận vuông A. Nếu $Tr(AA^{T})=0$ thì $A=O$"

Việc chứng minh bổ đề trên các bạn có thể dễ dàng chứng minh. hi

Ta sẽ chứng minh $Tr\left ( (A-B^{T})^{T}(A-B^{T}) \right )=0$ suy ra $A-B^{T}=O$

Việc chứng minh này chỉ là áp dụng các phép toán về chuyển vị, phép nhân ma trận để biến đổi ra biểu thức đề cho. Các bạn xử lý tiếp nha!

Về quê rồi. Online bằng điện thoại thôi. Việc gõ Tiếng Việt có dấu cũng khá lâu. Còn gõ Latex thì mệt lắm. hi.

....................
@cuong148

Biều thức em chứng minh có thể áp dụng như thế nào cho bài này? Chia sẽ rỏ hơn về ý tưởng đi em! hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 31-01-2013 - 17:17

[dangminhtb]

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

Ta đi chứng minh bổ đề: Nếu Tr(X.X^T)=0 thì X= 0.Dễ dàng chứng minh đc.
Đặt X=A-B^T khi đóTr(X.X^T)=Tr((A-B^T)(A^T-B))=Tr(A.A^T-AB-B^TA^T+B^TB)=0 (do giả thiết)

Suy ra X=A-B^T=0 suy ra A=B^T (đpcm)

....................
Cùng ý tưởng! hi

Chú ý viết hoa đầu câu nha bạn! "Giữ gìn sự trong sáng của Tiếng Việt"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 31-01-2013 - 17:26

[cuong148]

Bài này mình đã đăng từ năm ngoái rồi. Thật không ngờ nay có người lật nó lại. hi

..........................

Tôi cũng góp một cách để giải bài này.

Chúng ta sử dụng bổ đề sau:

"Cho ma trận vuông A. Nếu $Tr(AA^{T})=0$ thì $A=O$"

Việc chứng minh bổ đề trên các bạn có thể dễ dàng chứng minh. hi

Ta sẽ chứng minh $Tr\left ( (A-B^{T})^{T}(A-B^{T}) \right )=0$ suy ra $A-B^{T}=O$

Việc chứng minh này chỉ là áp dụng các phép toán về chuyển vị, phép nhân ma trận để biến đổi ra biểu thức đề cho. Các bạn xử lý tiếp nha!

Về quê rồi. Online bằng điện thoại thôi. Việc gõ Tiếng Việt có dấu cũng khá lâu. Còn gõ Latex thì mệt lắm. hi.

....................
@cuong148

Biều thức em chứng minh có thể áp dụng như thế nào cho bài này? Chia sẽ rỏ hơn về ý tưởng đi em! hi

Không.em góp ý để chứng minh gọn bài toán hơn thôi.
À.Nghĩ lại thì em thấy có thể Chứng Minh thế này

$Tr(A{{A}^{T}}+B{{B}^{T}})=Tr(A{{A}^{T}})+Tr(B{{B}^{T}})=T{{r}^{2}}(A)+T{{r}^{2}}(B)$
$Tr(AB+{{A}^{T}}{{B}^{T}})=2Tr(AB)$
$\Rightarrow TrA=TrB$
Vậy $A=B^T$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 31-01-2013 - 18:01

[vo van duc]

Gởi cuong148
..........
Em xem lại lý thuyết nha!

1) $Tr(AB)\neq Tr(A).Tr(B)$ nên $Tr(AA^{T})\neq Tr^{2}(A)$

2) Chổ suy ra $Tr(A)=Tr(B)$ chưa có cơ sở.

3) $Tr(A)=Tr(B)$ thì chưa chắc $A=B$ dù nếu $A=B$ thì $Tr(A)=Tr(B)$

[cuong148]

Gởi cuong148
..........
Em xem lại lý thuyết nha!

1) $Tr(AB)\neq Tr(A).Tr(B)$ nên $Tr(AA^{T})\neq Tr^{2}(A)$

2) Chổ suy ra $Tr(A)=Tr(B)$ chưa có cơ sở.

3) $Tr(A)=Tr(B)$ thì chưa chắc $A=B$ dù nếu $A=B$ thì $Tr(A)=Tr(B)$

Em biết em sai rồi.@@. Hôm qua em cũng nghĩ vậy rồi. Không hiểu sao chiều nay lại viết lung tung thế. Sorry anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-02-2013 - 07:57