Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: $F_{(n)}(a,b,c) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
$$F_{n}(a,b,c)= a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$


Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Đây là ý tưởng của mình.
Dễ thấy $(a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab + bc + ca)\nmid (a - b)(b - c)(c - a)$. Mặt khác, để ý là $\frac{F_{n}(a, b, c)}{(a - b)(b - c)(c - a)}$ là một đa thức đối xứng đầy đủ (gọi đúng không nhỉ, ý mình là nó được định nghĩa tương tự như cái link bên dưới) bậc $n - 2$.
Theo bài toán này (đây là dự đoán, mình chưa chứng minh được) thì ta cần $6\mid \binom{n}{2}$, và điều kiện đủ cũng là dự đoán của mình.

P.S: Ban đầu mình cố định $b, c$ thành các số cố định sau đó sử dụng số phức thì chứng minh được $n \equiv 1\pmod{3}$ và định chứng minh thì mất cả mấy ngày nhưng chẳng thu được gì, sau đó mới nghĩ tới hướng tổng quát như trên :-)



#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Đây là ý tưởng của mình.
Dễ thấy $(a^{2} + b^{2} + c^{2} + ab + bc + ca)\nmid (a - b)(b - c)(c - a)$. Mặt khác, để ý là $\frac{F_{n}(a, b, c)}{(a - b)(b - c)(c - a)}$ là một đa thức đối xứng đầy đủ (gọi đúng không nhỉ, ý mình là nó được định nghĩa tương tự như cái link bên dưới) bậc $n - 2$.
Theo bài toán này (đây là dự đoán, mình chưa chứng minh được) thì ta cần $6\mid \binom{n}{2}$, và điều kiện đủ cũng là dự đoán của mình.

P.S: Ban đầu mình cố định $b, c$ thành các số cố định sau đó sử dụng số phức thì chứng minh được $n \equiv 1\pmod{3}$ và định chứng minh thì mất cả mấy ngày nhưng chẳng thu được gì, sau đó mới nghĩ tới hướng tổng quát như trên :-)

Có vẻ như không đúng rồi.Xin nêu một phản ví dụ :

Khi $a=3$ ; $b=2$ ; $c=1$ ; $n=9$ thì $6|\left ( ^n_2 \right )$ nhưng

$a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)=18660$

lại không chia hết cho

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=25$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-05-2016 - 12:41

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
Fn(a,b,c)=an(bc)+bn(ca)+cn(ab)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

Đặt $G(a,b,c) = a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$.  

 

Giả sử $F_n$ chia hết cho $G$. cho $c=0$ ta được $ab(a^{n-1}-b^{n-1})$ chia hết cho $a^2+b^2+c^2$. Từ đây dễ dàng suy ra được $n-1$ phải chia hết cho $3$. 

 

Nếu $n=1$ hoặc $n=4$  ta có thể chứng minh được $F_n$ chia hết cho $G$. Giả sử $n>4$ và ta viết $n-1=3k$ với $k>1$. Ta viết 

$$F_n=ab(a^{3k}-b^{3k}) +bc (b^{3k}-c^{3k}) +ca(c^{3k}-a^{3k}).$$

Vì $a^{3k}-b^{3k}$ chia hết cho $a^2+b^2+ab$ nên ta có 

$$ab(a^{3k}-b^{3k}) = ab\frac{a^{3k}-b^{3k}}{a^2+b^2+ab}G(a,b,c) -abc(a+b+c)\frac{a^{3k}-b^{3k}}{a^2+b^2+ab}.$$

Như vậy $F_n$ chia hết cho $G$ tương đương với $H_n$ chia hết cho $G$, với

$$H_n(a,b,c)= \frac{a^{3k}-b^{3k}}{a^2+b^2+ab}+\frac{b^{3k}-c^{3k}}{c^2+b^2+cb}+\frac{c^{3k}-a^{3k}}{a^2+c^2+ac}.$$

Cho $c=0, b=1$ và $a$ là một số phức khác $1$ sao cho $a^3=1$ (có 2 số phức như thế). Thay vào $H_n$ ta được $H_n(a,b,c)$ khác $0$ nhưng $G(a,b,c)=0$. Như vậy $H_n$ không chia hết cho $G$. 

 

Kết luận $n=1$ hoặc $n=4$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 10-05-2016 - 03:39


#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
$$F_{n}(a,b,c)= a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$

Đề bài này có 1 thiếu sót quan trọng là không nói rõ $a,b,c$ thuộc tập số gì (số tự nhiên, số thực hay số phức).

Nếu $a,b,c$ thuộc tập số thực hay số phức thì phải định nghĩa thêm khái niệm chia hết cho số thực và số phức.Tưởng vấn đề cũng đơn giản : Một số chia hết cho 1 số thực (hay số phức) khi thương là số nguyên.

Nhưng nếu áp dụng định nghĩa chia hết đó thì sẽ thấy khi $n=4$ thì không phải lúc nào $F_n(a,b,c)$ cũng chia hết cho $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$

Ví dụ khi $a=0,3$ ; $b=0,2$ ; $c=0,1$ thì 

$F_4(a,b,c)=0,3^4.0,1-0,2^4.0,2+0,1^4.0,1=0,0005$

không chia hết cho 

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0,25$

Vậy nếu $a,b,c$ là 3 số thực (hay số phức) khác $0$ thì đáp án bài toán là $n=0$ hoặc $n=1$

------------------------------------------------------

Nhưng mình nghĩ đề bài này nên giới hạn điều kiện của $a,b,c$ là $a,b,c$ là số tự nhiên và khác $0$.

(Nhưng nếu $a,b,c$ là số tự nhiên khác $0$ thì dĩ nhiên không thể "cho $c$ bằng $0$ hoặc "cho $a$ là 1 số phức khác $1$ sao cho $a^3=1$" như bạn ChinhLu đã làm như trên được)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-05-2016 - 14:56

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đề bài này có 1 thiếu sót quan trọng là không nói rõ $a,b,c$ thuộc tập số gì (số tự nhiên, số thực hay số phức).

Nếu $a,b,c$ thuộc tập số thực hay số phức thì phải định nghĩa thêm khái niệm chia hết cho số thực và số phức.Tưởng vấn đề cũng đơn giản : Một số chia hết cho 1 số thực (hay số phức) khi thương là số nguyên.

 

Mình hiểu chia hết ở đây là: đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) nếu P(x) =Q(x)R(x) với R cũng là một đa thức. Trong trường hợp này mình xét vành các đa thức hệ số phức, hoặc thực, hoặc nguyên (kiểu nào cũng được).  



#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Mình hiểu chia hết ở đây là: đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) nếu P(x) =Q(x)R(x) với R cũng là một đa thức. Trong trường hợp này mình xét vành các đa thức hệ số phức, hoặc thực, hoặc nguyên (kiểu nào cũng được).  

Vậy là bạn hiểu khái niệm chia hết theo kiểu đại số (đa thức chia hết cho đa thức).Nhưng đây là bài toán số học (thuộc box Số học) nên mình nghĩ nên giới hạn $a,b,c$ là số tự nhiên khác $0$ và hiểu khái niệm chia hết như trong số học thôi.Khi đó đáp án là $n\in \left \{ 0;1;4 \right \}$

 

--------------------------------------------------

@ Ego :

Dù là đa thức nhiều biến cũng nên nói rõ là biến tự nhiên, biến số thực hay là biến số phức chứ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2016 - 06:02

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Em thì nghĩ tác giả bài viết đã đưa nhầm bài này vào topic số học, chứng minh của em cũng dựa trên chia hết trên đa thức, không phải chia hết theo kiểu số học.

Ngay từ định nghĩa của $F_{n}(a, b, c)$ em nghĩ bạn ấy muốn hướng đến chúng ta đây là đa thức nhiều biến.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 10-05-2016 - 15:58





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh