Chủ đề này có 10 trả lời

[moonlight0610]

bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}+1 \right ).\left ( b^{2}+1 \right ).\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$
bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c, ta có
$2.\left ( 1+abc \right )+\sqrt{2.\left ( 1+a^{2} \right ).\left ( 1+b^{2} \right ).\left ( 1+c^{2} \right )}\geq \left ( 1+a \right ).\left ( 1+b \right ).\left ( 1+c \right )$
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}+\frac{b^{3}c}{1+bc^{2}}+\frac{c^{3}a}{1+ca^{2}}\geq \frac{abc\left ( a+b+c \right )}{1+abc}$
bài 4: Cho a,b,c,d,e > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=5$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Mình mới học Bất đẳng thức, mong các bạn chỉ bảo cho ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonlight0610: 28-01-2012 - 22:40

[Tham Lang]

Mình làm bài 3 trước
$$\dfrac{a^3b}{1 + ab^2} + \dfrac{b^3c}{1 + bc^2} + \dfrac{c^3b}{1 + ca^2} = abc(\dfrac{a^2}{c + ab^2c} + \dfrac{b^2}{a + abc^2} + \dfrac{c^2}{b + a^2bc}\ge $$ $$ \ge abc.\dfrac{(a + b + c)^2}{a + b + c + abc(a + b + c)} = \dfrac{abc(a + b + c)}{1 + abc}$$

[Tham Lang]

bài 4
ta có $$\dfrac{a^2}{b + c + d} + a^2(b + c + d) \ge 2a^2$$
Lại có $$a^2(b + c + d) = \dfrac{1}{3}.a^2(b + c + d).3 \le a^2.\dfrac{(b + c + d)^2 + 9}{2} \le a^2.\dfrac{3(b^2 + c^2 + d^2) + 9}{2}$$
Làm như vậy với các số còn lại. Tiếp tục áp dụng
$ab + bc + cd + de + ea \le \dfrac{(a + b + c + d + e)^2}{5}$với các số $a^2, b^2, c^2, d^2, e^2$ ta có đpcm
Mình chỉ nêu ra hướng giải. Mong mọi người thông cảm

[anh qua]

bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}+1 \right ).\left ( b^{2}+1 \right ).\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$
bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c, ta có
$2.\left ( 1+abc \right )+\sqrt{2.\left ( 1+a^{2} \right ).\left ( 1+b^{2} \right ).\left ( 1+c^{2} \right )}\geq \left ( 1+a \right ).\left ( 1+b \right ).\left ( 1+c \right )$
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}+\frac{b^{3}c}{1+bc^{2}}+\frac{c^{3}a}{1+ca^{2}}\geq \frac{abc\left ( a+b+c \right )}{1+abc}$
bài 4: Cho a,b,c,d,e > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=5$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Mình mới học Bất đẳng thức, mong các bạn chỉ bảo cho ạ

Câu cuối trước:
Ta có: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}$ = $\sqrt{\frac{a^2(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}}$ $\leq$ $\frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}}{a+b+c}$
Xây dựng hai cái tương tự rồi cộng vế vs vế ta đk:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}$ + $\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}$ + $\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}$ $\leq$ $\frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}+\sqrt{b^2(1+c+a)}+\sqrt{c^2(1+a+b)}}{a+b+c}$
Bây h ta cần cm: $\sqrt{a^2(1+b+c)}$ + $\sqrt{b^2(1+c+a)}$ + $\sqrt{c^2(1+a+b)}$ $\leq$ $3(a+b+c)$
Thật vậy, nghe nói theo ông Cauchy-Schwarz ta cóa:
$\sqrt{a^2(1+b+c)}$ + $\sqrt{b^2(1+c+a)}$ + $\sqrt{c^2(1+a+b)}$ = $\sqrt{a(a+ab+ac)}$ + $\sqrt{b(b+bc+ba)}$ + $\sqrt{c(c+ca+cb)}$ $\leq$ $\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}$.
Đến đây tớ nghĩ Châu nên làm tiếp!
p/s1: bài này kòn một cách giải nữa của anh Nguyễn Đình Toàn - toan_glifc nhưng t không nhớ, cách trên là của anh VQBC
p/s2: Ngại gõ latex, ngại làm bđt!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 29-01-2012 - 00:02

[dark templar]

bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c, ta có
$2.\left ( 1+abc \right )+\sqrt{2.\left ( 1+a^{2} \right ).\left ( 1+b^{2} \right ).\left ( 1+c^{2} \right )}\geq \left ( 1+a \right ).\left ( 1+b \right ).\left ( 1+c \right )$

Chém nốt câu này
Để ý 2 đẳng thức sau:
$$(1+a^2)(1+b^2)=(a+b)^2+(1-ab)^2$$
$$2(1+c^2)=(1+c)^2+(c-1)^2$$
Nên theo Cauchy-Schwarz:
$$\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} \ge (a+b)(1+c)+(1-ab)(c-1)=(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)$$

[moonlight0610]

bài 4
ta có $$\dfrac{a^2}{b + c + d} + a^2(b + c + d) \ge 2a^2$$
Lại có $$a^2(b + c + d) = \dfrac{1}{3}.a^2(b + c + d).3 \le a^2.\dfrac{(b + c + d)^2 + 9}{2} \le a^2.\dfrac{3(b^2 + c^2 + d^2) + 9}{2}$$
Làm như vậy với các số còn lại. Tiếp tục áp dụng
$ab + bc + cd + de + ea \le \dfrac{(a + b + c + d + e)^2}{5}$với các số $a^2, b^2, c^2, d^2, e^2$ ta có đpcm
Mình chỉ nêu ra hướng giải. Mong mọi người thông cảm

Anh Huy cho e hỏi cái chỗ "Lại có $$a^2(b + c + d) = \dfrac{1}{3}.a^2(b + c + d).3 \le a^2.\dfrac{(b + c + d)^2 + 9}{2} \le a^2.\dfrac{3(b^2 + c^2 + d^2) + 9}{2}$$" E chưa hiểu lắm! Anh giảng lại cho e chỗ đó nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonlight0610: 29-01-2012 - 13:30

[moonlight0610]

Chém nốt câu này
Để ý 2 đẳng thức sau:
$$(1+a^2)(1+b^2)=(a+b)^2+(1-ab)^2$$
$$2(1+c^2)=(1+c)^2+(c-1)^2$$
Nên theo Cauchy-Schwarz:
$$\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} \ge (a+b)(1+c)+(1-ab)(c-1)=(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)$$

Anh Phúc ơi! Làm sao để phân tích mà biết đc 2 đẳng thức này để ghép vào bài hả a? $$(1+a^2)(1+b^2)=(a+b)^2+(1-ab)^2$$
$$2(1+c^2)=(1+c)^2+(c-1)^2$$ Anh có bí kíp nào hay chỉ e với!

[moonlight0610]

Câu cuối trước:
Ta có: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}$ = $\sqrt{\frac{a^2(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}}$ $\leq$ $\frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}}{a+b+c}$
Xây dựng hai cái tương tự rồi cộng vế vs vế ta đk:
$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}$ + $\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}$ + $\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}$ $\leq$ $\frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}+\sqrt{b^2(1+c+a)}+\sqrt{c^2(1+a+b)}}{a+b+c}$
Bây h ta cần cm: $\sqrt{a^2(1+b+c)}$ + $\sqrt{b^2(1+c+a)}$ + $\sqrt{c^2(1+a+b)}$ $\leq$ $3(a+b+c)$
Thật vậy, nghe nói theo ông Cauchy-Schwarz ta cóa:
$\sqrt{a^2(1+b+c)}$ + $\sqrt{b^2(1+c+a)}$ + $\sqrt{c^2(1+a+b)}$ = $\sqrt{a(a+ab+ac)}$ + $\sqrt{b(b+bc+ba)}$ + $\sqrt{c(c+ca+cb)}$ $\leq$ $\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}$.
Đến đây tớ nghĩ Châu nên làm tiếp!
p/s1: bài này kòn một cách giải nữa của anh Nguyễn Đình Toàn - toan_glifc nhưng t không nhớ, cách trên là của anh VQBC
p/s2: Ngại gõ latex, ngại làm bđt!

Hì, cám ơn Quả nhìu nhé! ^^ Tới đây C làm đc rồi Vô cùng vô cùng vô cùng cám ơn Quả đã dành thời gian vào giải! Bản Latex rắc rối thật, nhưng tiện cái đọc dễ hiểu

[Tham Lang]

Anh Huy cho e hỏi cái chỗ "Lại có $$a^2(b + c + d) = \dfrac{1}{3}.a^2(b + c + d).3 \le a^2.\dfrac{(b + c + d)^2 + 9}{2} \le a^2.\dfrac{3(b^2 + c^2 + d^2) + 9}{2}$$" E chưa hiểu lắm! Anh giảng lại cho e chỗ đó nha!

thứ nhất, sử dụng$xy\le \dfrac{(x^2 + y^2}{2}$, thứ 2, sử dụng bunhia $(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \ge (a + b + c)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-01-2012 - 13:57

[dark templar]

Anh Phúc ơi! Làm sao để phân tích mà biết đc 2 đẳng thức này để ghép vào bài hả a? $$(1+a^2)(1+b^2)=(a+b)^2+(1-ab)^2$$
$$2(1+c^2)=(1+c)^2+(c-1)^2$$ Anh có bí kíp nào hay chỉ e với!

Cái này anh nghĩ là cách phân tách tự nhiên để chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 biến mà
Còn cái việc tách xong mà ghép cặp thế nào thì đó là ....mò đấy em Mò sao cho ra vế $(a+1)(b+1)(c+1)$ mà thôi

[Ispectorgadget]

Bài 1:
$(a+b+c+1)^2=(a.1+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}(b+c)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2})^2\leq (a^2+1)[3+2(b+c)^2]$
Khi đó ta cần chứng minh BĐT sau
$\frac{5}{16}[3+2(b+c)^2]\leq (b^2+1)(c^2+1)$
Hay $16b^2c^2+6(b^2+c^2)+1\geq 20cb$
BĐT hiển nhiên đúng do
$16b^2c^2+1\geq 8cb;6(b^2+c^2)\geq 12bc$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $c=b=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-02-2012 - 23:37