Cho 2 đường tròn $(C_1)$, $(C_2)$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Tiếp tuyến chung $BC$ không qua $A$ ( trong đó $B \in \left( {{C_1}} \right);C \in \left( {{C_2}} \right)$ ). Với $R_1=5;R_2=4$, tính diện tích hình giới hạn bởi $BC$ và 2 cung nhỏ $AC$,$AB$.
Lời giải:Đặt $(C_1)\equiv (I);(C_2) \equiv (J)$
Vẽ tiếp tuyến chung tại A của (I),(J); cắt BC tại D. Dễ thấy D là trung điểm BC.
\[\begin{gathered}
BC = \sqrt {J{I^2} - {{\left( {IB - CJ} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}} = 4\sqrt 5 \\
\Rightarrow DB = DC = DA = \frac{1}{2}AB = 2\sqrt 5 \\
\angle BIA = 2\angle DIA = 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{DA}}{{IA}}} \right) = 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right) \to \boxedA \\
\angle CJA = {180^o} - \angle BIA \to \boxedB \\
{S_q} = {S_{q\left( {BIA} \right)}} + {S_{q\left( {CJA} \right)}} = \pi R_1^2.\frac{{\angle BIA}}{{360}} + \pi R_2^2.\frac{{\angle CJA}}{{360}} \to \boxedC \\
S = {S_{BIJC}} - {S_q} = 8,54893346\left( {c{m^2}} \right) \\
\end{gathered} \]