Chủ đề này có 7 trả lời

[Dieu Ha]

B1: Chứng minh:
$(x+y+z)^{2}(xy+yz+xz)^{2}\leq 3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(x^{2}+xz+z^{2})$
với mọi $x,y,z\geq 0$
B2: $a,b,c\geq 0$ Chứng minh:
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{8(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$
B3: $a,b,c>0$ Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a}{b+a}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
B4: x,y>0 x+y+xy = 3
$\frac{3x}{1+y}+\frac{3y}{1+x}+\frac{xy}{x+y}\leq x^{2}+y^{2}+\frac{3}{2}$
B5: x+y+z = 3 CM:
$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dieu Ha: 31-01-2012 - 16:59

[Tham Lang]

Bài 4.$x + y + xy = 3 \Leftrightarrow (x + 1)(y + 1) = 4$
$$\dfrac{3x}{y + 1} + \dfrac{3y}{x + 1} + \dfrac{xy}{x + y} = \dfrac{3(x + y) + 3(x^2 + y^2)}{(x + 1)(y + 1)} + \dfrac{xy}{x + y} $$ $$= \dfrac{(2x + 2y + 3x^2 + 3y^2) + (x + y)}{4} + \dfrac{xy}{x + y} \le \dfrac{(x^2 + 1 + y^2 + 1 + 3x^2 + 3y^2) + x + y}{4} + \dfrac{xy}{x + y} = x^2 + y^2 + \dfrac{x + y + 2}{4} + \dfrac{xy}{x + y} $$
Ta cần chứng minh $\dfrac{x + y}{4} + \dfrac{xy}{x + y} \le 1 (1)$
Thật vậy $(1) \Leftrightarrow \dfrac{(x + y)^2 + 4xy}{4(x + y)} \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{(3 - xy)^2 + 4xy}{4(3 - xy)} \le 1 \Leftrightarrow (xy - 1)(xy + 3) \le 0$
Ta có $3 = x + y + xy \ge 3\sqrt{x^2y^2} \Leftrightarrow xy \le 1$ nên (1) đúng
ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-01-2012 - 23:15

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1:Áp dung AM-GM ta có $x^{2}+xy+y^{2}\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2};y^{2}+yz+z^{2}\geq \frac{3}{4}(y+z)^{2};z^{2}+zx+x^{2}\geq \frac{3}{4}(z+x)^{2}$
$\Rightarrow VP\geq \frac{27}{64}(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}$
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$\Rightarrow VP\geq (x+y+z)^{2}(xy+yz+zx)^{2}$
Bài 2:Ta có: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9abc}$
Cần chứng minh :$\frac{ab+bc+ca}{9abc}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq 9abc$(đúng theo AM-GM)
Vế thứ 2 của bất đẳng thức thử với a=b=c=1 ta thấy sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 30-01-2012 - 19:08

[Ispectorgadget]

Bài tương tự

Giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử $x = max\left\{ {x,y,z} \right\}$.

Do $y \le x \Rightarrow {y^2}z \le xyz\,\,;\,\,\,\,z \le x \Rightarrow {z^2}x \le z{x^2}$

Khi đó: $$A = {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x \le {x^2}y + xyz + \dfrac{1}{2}{z^2}x + \dfrac{1}{2}{z^2}x \le $$
$$ \le {x^2}y + xyz + \dfrac{{z{x^2}}}{2} + \dfrac{{{z^2}x}}{2} = x\left( {x + z} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) = {2^2}\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{{x + z}}{2}} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Theo BĐT AM - GM, ta có:
$$\left( {\dfrac{x}{2}.\dfrac{{x + z}}{2}} \right)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) \le {\left( {\dfrac{{\dfrac{x}{2} + \dfrac{{x + z}}{2} + y + \dfrac{z}{2}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Từ (1) và (2) suy ra: $A \le \dfrac{4}{{27}}$. Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
z = 0\\
\dfrac{x}{2} = \dfrac{{x + z}}{2} = y + \dfrac{z}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2}{3}\\
y = \dfrac{1}{3}\\
z = 0
\end{array} \right.$
Vậy $maxA = \dfrac{4}{{27}} \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3},\,y = \dfrac{1}{3},\,\,z = 0$.

[le_hoang1995]

Bài 3 có thể xem ở đây
http://mathifc.wordp...0/inequality-6/

[Poseidont]

B1: Chứng minh:
$(x+y+z)^{2}(xy+yz+xz)^{2}\leq 3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(x^{2}+xz+z^{2})$
với mọi $x,y,z\geq 0$
B2: $a,b,c\geq 0$ Chứng minh:
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{8(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$
B3: $a,b,c>0$ Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a}{b+a}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
B4: x,y>0 x+y+xy = 3
$\frac{3x}{1+y}+\frac{3y}{1+x}+\frac{xy}{x+y}\leq x^{2}+y^{2}+\frac{3}{2}$
B5: x+y+z = 3 CM:
$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq 4$

bài 3 không biết đúng không ta,mọi ng góp ý
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}=\sqrt{1-\frac{b}{a+b}}$
áp dụng bdt Co si
$\sqrt{(1-\frac{b}{a+b}).\frac{1}{2}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{b}{a+b})$
cộng từng vế của bdt ta dc $\sqrt{\frac{1}{2}}VT\leqslant \frac{9}{2}-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})\leq \frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$
suy ra dpcm,bdt kia chung minh = svac la dc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HVADN: 05-02-2012 - 15:55

[kimyenvietvnn]

bai nay co tong quat ma moi nguoi cm thu xem
$\sum_{1}^{n}x_{i}$=1
CMR x₁²x₂+x₂²x₃+.........+x_n²x₁$\leq$4/27

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimyenvietvnn: 18-02-2012 - 17:55

[le_hoang1995]

bài 3 không biết đúng không ta,mọi ng góp ý
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}=\sqrt{1-\frac{b}{a+b}}$
áp dụng bdt Co si
$\sqrt{(1-\frac{b}{a+b}).\frac{1}{2}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{b}{a+b})$
cộng từng vế của bdt ta dc $\sqrt{\frac{1}{2}}VT\leqslant \frac{9}{2}-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})\leq \frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$
suy ra dpcm,bdt kia chung minh = svac la dc

$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\geq \frac{3}{2}$

Bất đẳng thức này không đúng đâu bạn, nó không phải là Nestbit đâu, bạn xem lại.

VD cho $ b=1,a=2,c=3$ thì nó sấp xỉ 1.48

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 18-02-2012 - 22:11