Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

Chứng minh có đúng 1 trong ba số lớn hơn 1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 ProVip97

ProVip97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 01-02-2012 - 17:11

Hello mọi người trong diễn đàn, em là mem mới nên mong nhận đc sự giúp đỡ của mọi người!!!

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

Bài 3: Cho các số thực a,b$\geq$3 Chứng minh rằng
$21(a+\frac{1}{b})+3(b+\frac{1}{a})\geq 80$

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$

#2 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 01-02-2012 - 17:52

Bài 2: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=c$
Bài 3: $21(a+\frac{1}{b})+3(b+\frac{1}{a})=21a+3b+\frac{21}{b}+\frac{3}{a}=(\frac{3}{a}+\frac{a}{3})+(\frac{21}{b}+\frac{7b}{3})+\frac{62}{3}a+\frac{2}{3}b$
$\geq 2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{62}{3}.3+\frac{2}{3}.3=80<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=3$

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})< x+y+z \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xy+yz+zx< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ x+y+z-(xy+yz+zx)>0 \end{matrix}\right.$
Xét tích:
$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=x+y+z-(xy+yz+zx)>0\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)>0$
Vậy trong 3 số $x,y,z$ có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu $x,y,z>1\Rightarrow xyz>1$. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-02-2012 - 18:18

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3 anh892007

anh892007

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 08-02-2012 - 00:17

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$


Bài này thì ta có:
$ a+b+2\sqrt{ab}=1 $
Ta có $ ((a+b) +2\sqrt{ab})^{2} \geq 8(a+b).\sqrt{ab} $ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{4} $
Hay $ (a+b).\sqrt{ab} \leq \frac{1}{8} $
tương đương với:
$ ab.(a+b)^{2} \leq \frac{1}{64}$ (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh892007: 08-02-2012 - 00:20


#4 tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:$\color{red}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{Mathematics} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 09-01-2017 - 13:12

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$

Cách khác cho bài 4 

Bất đẳng thức cần cm tương đương với 

$\sqrt{ab}(a+b)\leq \frac{1}{8}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có 

$\sqrt{ab}(a+b)= \frac{1}{2}.2\sqrt{ab}(a+b)\leq \frac{1}{2}.\frac{(a+b+2\sqrt{ab})}{4}= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}}{8}= \frac{1}{8}$

$\rightarrow$ đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh