Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh có đúng 1 trong ba số lớn hơn 1

* * * - - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ProVip97

ProVip97

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
Hello mọi người trong diễn đàn, em là mem mới nên mong nhận đc sự giúp đỡ của mọi người!!!

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

Bài 3: Cho các số thực a,b$\geq$3 Chứng minh rằng
$21(a+\frac{1}{b})+3(b+\frac{1}{a})\geq 80$

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$

#2
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
Bài 2: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=c$
Bài 3: $21(a+\frac{1}{b})+3(b+\frac{1}{a})=21a+3b+\frac{21}{b}+\frac{3}{a}=(\frac{3}{a}+\frac{a}{3})+(\frac{21}{b}+\frac{7b}{3})+\frac{62}{3}a+\frac{2}{3}b$
$\geq 2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{62}{3}.3+\frac{2}{3}.3=80<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=3$

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})< x+y+z \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xy+yz+zx< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ x+y+z-(xy+yz+zx)>0 \end{matrix}\right.$
Xét tích:
$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=x+y+z-(xy+yz+zx)>0\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)>0$
Vậy trong 3 số $x,y,z$ có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu $x,y,z>1\Rightarrow xyz>1$. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-02-2012 - 18:18

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3
anh892007

anh892007

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$


Bài này thì ta có:
$ a+b+2\sqrt{ab}=1 $
Ta có $ ((a+b) +2\sqrt{ab})^{2} \geq 8(a+b).\sqrt{ab} $ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{4} $
Hay $ (a+b).\sqrt{ab} \leq \frac{1}{8} $
tương đương với:
$ ab.(a+b)^{2} \leq \frac{1}{64}$ (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh892007: 08-02-2012 - 00:20


#4
tienduc

tienduc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 580 Bài viết

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$

Cách khác cho bài 4 

Bất đẳng thức cần cm tương đương với 

$\sqrt{ab}(a+b)\leq \frac{1}{8}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có 

$\sqrt{ab}(a+b)= \frac{1}{2}.2\sqrt{ab}(a+b)\leq \frac{1}{2}.\frac{(a+b+2\sqrt{ab})}{4}= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}}{8}= \frac{1}{8}$

$\rightarrow$ đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh