Topic các bài về số nguyên tố
#41
Đã gửi 12-10-2012 - 21:17
Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là số nguyên tố
- Lam Lam và Tea Coffee thích
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
#42
Đã gửi 17-10-2012 - 14:02
#43
Đã gửi 17-10-2012 - 15:31
2. Chứng minh rằng nếu n và $n^2+2$ là các số nguyên tố thì $n^3+2$ cũng là số nguyên tố.
3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k (a,k thuộc N* ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6.
4. Cho p, q là hai số nguyên tố, chứng minh rằng $p^2-q^2$ chia hết cho 24.
5. Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư là một hợp số r. Tìm r.
6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
8. Cho n thuộc N*, chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 2^(2^(2n+1)) + 3 b) B = 2^(2^(4n+1)) + 7 c) C = 2^(2^(6n+2)) + 13
9. p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh $p^4\equiv 1$ (mod 240)
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
12. Tìm n thuộc N* để $n^3-n^2+n-1$ là số nguyên tố.
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.
- Namthemaster1234 yêu thích
#44
Đã gửi 17-10-2012 - 15:46
#45
Đã gửi 17-10-2012 - 18:04
Giải như sau:6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.
Bài 6: Chứng minh chia hết cho $111...11$ với $n+1$ chữ số $1$
Bài 7: Với $n=1$ đúng
Với $n\geq 2$
$1010101...01=\dfrac{9999..999}{99}$ ($2n+2$ số 9)
$=\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}$
TH1: $n+1$ lẻ suy ra $\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}=\dfrac{10^{n+1}-1}{9}.\dfrac{10^{n+1}+1}{11}$
Ta thấy $\dfrac{10^{n+1}-1}{9}$ là số nguyên lớn hơn $1$ và do $n+1$ lẻ nên $\dfrac{10^{n+1}+1}{11}$ cũng nguyên lớn hơn $1$
Do đó $10101...01$ là hợp số loại!
TH2: $n+1$ chẵn suy ra $\dfrac{10^{2n+2}-1}{99}=\dfrac{10^{n+1}-1}{99}.(10^{n+1}+1)$
Do $n+1$ chẵn nên $\dfrac{10^{n+1}-1}{99}$ là số nguyên lớn hơn $1$ suy ra $10101..01$ là hợp số, loại
Vậy $\boxed{n=1}$
Bài 10: Xét một số $a_1=10^1+3=13$
Ta sẽ cm tồn tại vô số số có dạng $10^k+3 \vdots 13$
Thật vậy $10^k+3 \vdots 13 \Leftrightarrow 10^k-10 \vdots 13 \Leftrightarrow 10^{k-1}-1 \vdots 13$
Theo định lý Fermat nhỏ suy ra $10^{12}-1 \vdots 13$ do đó chọn $k-1=12t \Rightarrow k=12t+1$ khi ấy $a_k$ là hợp số suy ra có vô số số là hợp số có dạng $a_k$ đpcm
Bài 11:
Ta chọn $n=(p-1)^{2t}$ suy ra $2^{(p-1)^{2t}}=(2^{(p-1)^{2t-1}})^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ (Fermat nhỏ)
Suy ra $2^n-n=2^{(p-1)^{2t}}-(p-1)^{2t} \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{p}$ do đó có vô số số $n$ có dạng $(p-1)^{2t}$ thỏa đề
Bài 13: Chú ý đẳng thức $x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$
Bài 14: $p=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}+1=\dfrac{n(n+1)(n+2)+6}{6}=\dfrac{(n+3)(n^2+2)}{6}$
Đến đây đã dễ dàng
Bài 15: $n^4+4^n$ nếu $n$ chẵn thì mọi việc xong, suy ra $n$ lẻ nên $n=2k+1$
Suy ra $n^4+4^n=n^4+4.4^{n-1}=n^4+4.2^{2(n-1)}=n^4+4.2^{2(2k-2)}=n^4+4.(2^{k-1})^4$ đến đây quay lại bài $13$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 17-10-2012 - 18:08
- Daoxiang97, MinhChauTdn và Tea Coffee thích
#46
Đã gửi 21-10-2012 - 00:31
#47
Đã gửi 04-11-2012 - 08:52
#48
Đã gửi 11-11-2012 - 17:10
Em xin giải :Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho mỗi số vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
Đặt $p = a + b = c - d$ với $p, a, b, c, d \in \mathbb{P}$ và $a \geq b ; c > d$.
Ta có :
Do $p$ là tổng của $2$ số nguyên tố nên $p > 2$ $\Rightarrow p$ lẻ.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ có một số là $2$, mà $c > d$ nên $d = 2$.
Do $p$ lẻ nên trong hai số $c ; d$ sẽ xảy ra hai trường hợp :
$TH1 : a = b = 2$, loại vì khi đó $p = 4 \Rightarrow p \notin \mathbb{P}$.
$TH2 : a > b \Rightarrow b = 2$, chọn.
Vậy $p = a + 2 = c - 2$ $\leftrightarrow a + 2 = p$ $;$ $p + 2 = d$ hay $a, p, d$ là ba số nguyên tố lẻ liên tiếp.
Mà chỉ có $3$ số $3, 5, 7$ là phù hợp.
$\Rightarrow \left ( a ; p ; d \right ) = \left ( 3 ; 5 ; 7 \right )$
Vậy, $\boxed{p = 5}$.
- Nguyen Minh Tuan B và Aries Intelligent thích
#49
Đã gửi 15-11-2012 - 18:57
jup em voi toan 6 day!@@
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh:(p+5)(p+7)chia hết cho 24.
Đơn giản chỉ là chứng minh $(p+5)(p+7)$ chia hết cho $3,8$.
Để ý rằng $p>3$, $p$ nguyên tố nên $p$ chia $3$ chỉ có thể dư $1$ hoặc $2$, từ đó dẫn đến hoặc $p+5 \vdots 3$ hoặc $p+7 \vdots 3$.
Và cũng từ giả thiết suy ra $p$ lẻ $\to$ $p+5$ và $p+7$ là 2 số chẵn liên tiếp $\to$ $(p+5)(p+7) \vdots 8$
Do $\gcd(3,8)=1$ nên $(p+5)(p+7) \vdots 24 (Q.E.D)$
___
NLT
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-11-2012 - 18:58
- babyhoctoan và Khanh 6c Hoang Liet thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#50
Đã gửi 15-11-2012 - 19:29
Ước chung đó emda the cho em hoi gcd la j a?
- alibaba00 và babyhoctoan thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#51
Đã gửi 15-11-2012 - 19:34
Bài toán:Tìm số nguyên tố có ba chữ số,biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại.Ta được lập phương của một số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-11-2012 - 19:35
- alibaba00 và Khanh 6c Hoang Liet thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#52
Đã gửi 15-11-2012 - 21:18
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $\overline{abc}$ $\in \mathbb{P}$ ; $a , b , c \in \mathbb{N}$ và $a \neq 0$.Góp một bài:
Bài toán:Tìm số nguyên tố có ba chữ số,biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại.Ta được lập phương của một số tự nhiên.
Ta có :
$\overline{cba} = n^{3} \left ( n \in \mathbb{N^{*}} \right )$
Vì $100 \leqslant n^{3} \leqslant 999 \Leftrightarrow 5 \leqslant n \leqslant 9$
Sau khi thử ta thu được $n = 5$.
Số cần tìm là $521$.
- 19kvh97, alibaba00, Oral1020 và 1 người khác yêu thích
#54
Đã gửi 16-11-2012 - 12:45
Vì hai số liên tiếp sẽ có dạng $2k$ và $2k+1$Góp thêm một bài :
Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
giả sử $(2k,2k+1)=d$
$\Rightarrow 2k-2k+1 \vdots d$
$\Rightarrow 1 \vdots d$
Vậy $d=+-1$
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
- alibaba00 yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#55
Đã gửi 16-11-2012 - 17:36
----------------------------------------------------------------------
Sao vắng thế.Từ đây đến ngày mai không ai giải thì mình giải nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 17-11-2012 - 14:06
- alibaba00 yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#56
Đã gửi 18-11-2012 - 14:32
Gọi $p$ là số nguyên tố bất kì và $p$ biểu diễn được dưới dạng $30k+r$ $(k,r \in \mathbb{N},r<30)$
Nếu $k=0$ thì $r=p$ là số nguyên tố(1)
Nếu $k>0$thì $p\ge 30$.Như vậy $r$ phải khác ược của 30
Ta tìm được $r=1;7;11;13;17;19;23;29$(2)
Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow$ dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 14:33
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#57
Đã gửi 18-11-2012 - 20:14
Ta cần chứng minh $A = \left ( p + 5 \right )\left ( p + 7 \right )$ $\vdots$ $3$ $;$ $8$.jup em voi toan 6 day!@@
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh:(p+5)(p+7)chia hết cho 24.
Vì $p \in \mathbb{P}$ và $p > 3$ $\Rightarrow p$ là số lẻ và $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp.
$\Rightarrow p$ được biểu diễn dưới dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2$
Xét từng trường hợp :
$1)$ Với $p = 3k + 1$ cho ta $p + 5 = 3k + 6$ $\vdots$ $3$
Mà $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp nên $A$ $\vdots$ $8$.
Vậy $A$ $\vdots$ $24$.
$2)$ Với $p = 3k + 2$ cho ta $p + 7 = 3k + 9$ $\vdots$ $3$
Mà $p + 5$ $;$ $p + 7$ là hai số chẵn liên tiếp nên $A$ $\vdots$ $8$.
Vậy $A$ $\vdots$ $24$.
Cả hai trường hợp đều thỏa mãn $\rightarrow$ đ.p.c.m
- Oral1020 và babyhoctoan thích
#59
Đã gửi 18-11-2012 - 22:18
Mặt khác $A$ là hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là $p_n$) $(2)$.
Ta thấy $(2)$ mâu thuẫn với $(1)$
$\Rightarrow$ Không thể có hữu hạn số nguyên tố.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 07-12-2012 - 20:37
- alibaba00 yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#60
Đã gửi 18-11-2012 - 22:22
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 18-11-2012 - 22:23
- alibaba00 yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh