Chủ đề này có 211 trả lời

[gabong24]

Cho p-10; p+10 ; p+60 là số nguyên tố.Chứng minh rằng p+90 nguyên tố.

xét $p-10=2$ thì p=12 $\Rightarrow p+10=22$(trái gt)

xét $p-10=3$ thì p=13 $\Rightarrow p+10=23

                                    \Rightarrow p+60=73$ (thỏa)

xét $p-10\geqslant 3 \Rightarrow p-10=3k+1 hoặc p=3k+2$

        * nếu p-10=3k+1 thì p=3k+11 $\Rightarrow p+10=3k+21=3\left ( k+7 \right )$  (trái gt)

        * nếu p-10=3k+2 thì p= 3k+12 $\Rightarrow p+60=3k+72=3\left ( k+24 \right )$ (trái gt)

[Zizi]

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho với nó ta có n^4 + (n+1)^4 là một hợp số. 

[gabong24]

Tìm p nguyên tố sao cho:

 $p^2$ +1994  nguyên tố

Xét p=2 thì $p^{2}+1994$ là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

Xét p=3 thì$p^{2}+1994$ $=9+1994=2003$ là số nguyên tố( thỏa)

Xét p>3 thì p=3k$\pm1$$\Rightarrow$$p^{2}+1994$=9k^{2}\pm 6k+1+1994=9k^{2}\pm 6k+1995=3(3k^{2}\pm 2k+665)$ là hợp số

Vậy p=3

[lequocminh1999]

Một bài toán khá hay mà mình sưu tầm được

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố

Ta có: $5^{125}-1= (4+1)^{125}-1\equiv 1^{125}-1\equiv 1-1\equiv 0(mod 4)$

=> $5^{125}-1\vdots 4$
Chứng minh tương tự $5^{25}-1 \vdots 4$

=> $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không phải là phân số tối giản

[Phuong Thu Quoc]

Ta có: $5^{125}-1= (4+1)^{125}-1\equiv 1^{125}-1\equiv 1-1\equiv 0(mod 4)$

=> $5^{125}-1\vdots 4$
Chứng minh tương tự $5^{25}-1 \vdots 4$

=> $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không phải là phân số tối giản

Như thế này thì chưa chứng minh đươc đâu

VD: $ 12\vdots 4,4\vdots 4,12:4=3$ là số nguyên tố

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 17-11-2013 - 19:18

[Trang Luong]

Em xin đóng góp một bài

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố 

Đặt $5^{25}=a$

$GT\Rightarrow \frac{a^5-1}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1=a^4+9a^2+1+6a^3+2a^2+6a-10a^2-5a^3-5a=\left ( a^2+3a+1 \right )^2-5a\left ( a^2+2a+1 \right )=\left ( a^2+3a+1 \right )^2-5^{26}\left ( a+1 \right )^2=\left ( a^2+3a+1-5^{13}a-5^{13} \right )\left( a^2+3a+1+5^{13}a+5^{13} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 17-11-2013 - 20:50

[rohupt]

Xét $a,b,c\neq 3\Rightarrow a,b,c$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3\equiv 1(mod3)\\ b^3\equiv 1(mod3)\\ c^3\equiv 1(mod3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3\equiv 2(mod3)\\ c^3\equiv 1(mod3) \end{matrix}\right.\Rightarrow$ pt vô nghiệm.

Hình như $a^3 \equiv a \; (mod \; 3)$ chứ? Đoạn này sai rồi!

[Quanghuy2399]

số $3^{2012}+1$ có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không? tai sao?

Giả sử $3$^{2012}$+1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Đặt $3$^{2012}$+1=a(a+1)=a$^{2}$+a

nếu achia hết cho 3 suy ra vô lý

tương tự với trường hợp khác

Vì vội nên tớ không thể viết chi tiết được

[Trang Luong]

Tìm $p,q$ là các số nguyên tố sao cho $pq+4,4p+q$ là số nguyên tố

[hoangmanhquan]

Góp cho topic của ae mấy bài.

Bài 1: Tìm số nguyên tố p để phương trình $x^2-px-228p=0$ có 2 ngiệm nguyên.

Bài 2: CMR: $3^p-2^p-1$ chia hết cho 42p ( p là số nguyên tố  và p>7)

[phatthemkem]

Góp cho topic của ae mấy bài.

Bài 1: Tìm số nguyên tố p để phương trình $x^2-px-228p=0$ có 2 ngiệm nguyên.

Viết lại $x^2=p(x+228)\Rightarrow x^2\vdots p\Rightarrow x^2\vdots p^2\Rightarrow x^2=(kp)^2$  $\left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

Suy ra $x^2-px-228p=0\Leftrightarrow k^2p^2-\left | k \right |p^2-228p=0$

           $\Leftrightarrow k^2p-\left | k \right |p=228 \Leftrightarrow p\left | k \right |\left ( \left | k \right |-1 \right )=2^2.3.19$

$*$ Với $p=2$ loại vì $x$ không nguyên.

$*$ Với $p=3$ loại vì $x$ không nguyên.

$*$ Với $p=19$ thì $x=76,x=-57$ thỏa.

Vậy $p=19$

[Trang Luong]

Tìm các số nguyên tố $l,o,v,e$ biết $l+o^{11}+v^6+e^2$ chia hết cho 4  và $2000< l+o^{11}+v^6+e^2< 100000$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 31-12-2013 - 11:11

[buiminhhieu]

Tìm các số nguyên tố $l,o,v,e$ biết $l+o^{11}+v^6+e^2$ chia hết cho 4 và nhỏ nhất và $2000< l+o^{11}+v^6+e^2< 100000$

e=l=3

v=o=2

[KemNgon]

Tìm số nguyên tố p biết:

   $5^{p^{2}} + 1 \equiv 0 (mod p^{2})$

 Em không rõ cái này là số nguyên tố hay đồng dư nữa 

[Scarecrow]

Mọi ngừoi giúp em bài này với:

Tìm p biết p là một số nguyên tố và 2^p+p² là một số nguyên tố

[hoanganhhaha]

Đương nhiên p chẵn sẽ không t/m bài ra.
+ nếu p lẻ, 

th1: p chia hết cho 3. khi đó p=3(thỏa mãn)

th2: p chia 3 dư 1 thì đặt $p=3k+1$ nên $2^{3k+1}=8^{k}.2\equiv (-1)^k2 (mod 3)$ đương nhiên là k sẽ chẵn vì nếu k lẻ p sẽ chẵn. do đó $2^p+p^2\equiv 2+1(mod 3)$ (loại

th3: p chia 3 dư 2 cm tương tự thôi :v
 

[Takamina Minami]

Bài 1: Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 bằng lập phương của 1 số tự nhiên

Bài 2: Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p+1 bằng lập phương 1 số tự nhiên

gọi 2p+1=a³

$\Rightarrow$ 2p=a³-1

$\Rightarrow$ 2p=(a-1).(a²+a+1)

$\Rightarrow$ a-1=2;1

                      a²+a+1= p;2p

$\Rightarrow$ a=3;2 $\Rightarrow$ p=13

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takamina Minami: 20-05-2014 - 14:39

[19kvh97]

 

Bài 3: Cho các số : p=b$^{c}$+a , q=a$^{b}$+c , r=c$^{a}$+b là các số nguyên tố ( a,b,c $\epsilon \mathbb{N}$* ). CMR : trong 3 số p,q,r có ít nhất 2 số bằng nhau.

không mất tổng quát giả sử $2\leq p\leq q\leq r$

nếu $p=2$ suy ra $b^c+a=2$ mà a,b,c $\epsilon \mathbb{N}$* suy ra     $b^c+a\geq 1^c+1=2$ do đó $b=a=1$

suy ra $q=r=1+c$ (dpcm)

nếu $p>2$ suy ra $p,q,r$ lẻ 

mà $\left\{\begin{matrix}p lẻ  &  & \\q lẻ &  & \end{matrix}\right.$

+) $a$ chẵn do đó $b,c$ phải lẻ suy ra $r=c^a+b$ chẵn (vô lí)

+)$a$ lẻ thì $b,c$ chẵn suy ra $r$ chẵn (vô lí)

vậy ít nhất $2$ trong $3$ số $p,q,r$ sẽ bằng nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 12-06-2014 - 13:04

[Aries Intelligent]

Mấy anh chị giải dùm em  C/m : 198^n + 17 k là sntố với n thuộc N , n > 1 . 

[happyfree]

1. Tìm bộ ba số nguyên tố $(a,b,c)$ sao cho :

 a)$abc < ab + bc + ca$

 b)$a^{b} + b^{a} = c$