Giải phương trình nghiệm nguyên $$2x^2-y^{14}=1$$
#1
Đã gửi 03-02-2012 - 18:25
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 03-02-2012 - 21:00
minhtuyb
-
- Thành viên
-
- 470 Bài viết
Giả ngu chuyên nghiệp
Thử phát 
:
Dễ thấy $y$ lẻ $\Rightarrow y^7$ lẻ. Đặt $y^7=2k+1 (k\in Z)$ thì:
$2x^2-y^14=1\Leftrightarrow 2x^2=y^14+1=(2k+1)^2+1 \Leftrightarrow 2x^2= 4k^2+4k+2\Leftrightarrow x^2=2k^+2k+1\Leftrightarrow x^2=(k+1)^2+k^2(1)$
-Với $k=0\Rightarrow x=\pm 1;y^7=1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=1™$
-Với $k=-1\Rightarrow x=\pm 1;y^7=-1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=-1™$
-Với $k\neq 0;-1$ thì (1) trở thành phương trình Py-ta-go. Lại có $k;k+1$ là hai số nguyên liên tiếp $\Rightarrow$ phương trình Py-ta-go có nghiệm duy nhất $x^2=5^2;(k+1)^2=4^2;k^2=3^2\Rightarrow x=\pm 5;k=\pm 3\Rightarrow x=\pm 5;y^7=\pm 3$. Pt vô nghiệm vì $y\not\in Z$
Vậy pt có nghiệm nguyên là :$(x;y)=(1;1);(1;-1);(-1;1);(-1;-1)$
:Dễ thấy $y$ lẻ $\Rightarrow y^7$ lẻ. Đặt $y^7=2k+1 (k\in Z)$ thì:
$2x^2-y^14=1\Leftrightarrow 2x^2=y^14+1=(2k+1)^2+1 \Leftrightarrow 2x^2= 4k^2+4k+2\Leftrightarrow x^2=2k^+2k+1\Leftrightarrow x^2=(k+1)^2+k^2(1)$
-Với $k=0\Rightarrow x=\pm 1;y^7=1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=1™$
-Với $k=-1\Rightarrow x=\pm 1;y^7=-1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=-1™$
-Với $k\neq 0;-1$ thì (1) trở thành phương trình Py-ta-go. Lại có $k;k+1$ là hai số nguyên liên tiếp $\Rightarrow$ phương trình Py-ta-go có nghiệm duy nhất $x^2=5^2;(k+1)^2=4^2;k^2=3^2\Rightarrow x=\pm 5;k=\pm 3\Rightarrow x=\pm 5;y^7=\pm 3$. Pt vô nghiệm vì $y\not\in Z$
Vậy pt có nghiệm nguyên là :$(x;y)=(1;1);(1;-1);(-1;1);(-1;-1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 04-02-2012 - 13:36
- funcalys yêu thích
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
