Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương pháp đặt ẩn số phụ trong giải phương trình vô tỉ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 15:49

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn


A. Lời đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp, có thể là bậc quá cao. ..Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn.
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này:
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này. Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét:
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên. Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở, ngắn hay dài của bài toán.
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là:
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-02-2012 - 20:21

Quy ẩn giang hồ

#2 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 15:55

B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá

1. Nếu $ |x| \leq a $ thì ta có thể đặt $x = a\sin t, \in \left ( -\dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right ) $ hoặc $x = a\cos t , t \in \left ( 0 ; \pi\right )$

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sqrt{1 +\sqrt{1 - x^2} } = x\left ( 1 + 2\sqrt{1 - x^2}\right )$
Lời giải:
ĐK : $|x| \leq 1$. Đặt $x = \sin t , t \in \left ( -\dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right )$. Phương trình đã cho trở thành :

$ \sqrt{1 + \cos t } = \sin t \left ( 1 + 2\cos t\right ) $

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \cos \dfrac{t}{2} = 2\sin \dfrac{3t}{2}\cos \dfrac{t}{2} $

$\Leftrightarrow \cos \dfrac{t}{2}\left ( \sqrt{2}\sin \dfrac{3t}{2} - 1 \right ) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \frac{t}{2} = 0 \\ \cos \frac{{3t}}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = (2k + 1)\pi \\t = \frac{\pi }{6} + k\frac{{4\pi }}{3} \\ \end{array} \right.\left ( k \in \mathbb{Z} \right )$

Kết hợp với điều kiện của $t$ suy ra : $t = \dfrac{\pi }{6}$
Vậy phương trình có 1 nghiệm : $x = \sin \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{1}{2} $

Ví dụ 2: Giải phương trình:
$$\sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}}\left [ \sqrt{\left ( 1 + x\right )^3} - \sqrt{\left ( 1 - x\right )^3}\right ] = \dfrac{2}{\sqrt{3} } + \sqrt{\dfrac{1 - x^2}{3} }$$

Lời giải:
ĐK : $|x| \leq 1$
Khi đó $VP > 0 $.
Nếu $x \in [-1 ; 0]$ thì $\sqrt{\left ( 1 + x\right )^3} - \sqrt{\left ( 1 - x\right )^3} \leq 0$
Nếu $x \in [0 ; 1]$ thì đặt $x = \cos t $ , với $t \in [0 ; \dfrac{\pi}{2}]$ ta có :
$ 2\sqrt{6}\left ( \sin \dfrac{t}{2} + \cos \dfrac{t}{2}\right )\left ( \cos ^3\dfrac{t}{2} - \sin ^3\dfrac{t}{2}\right ) = 2 + \sin t $

$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}\cos t\left ( 1 + \dfrac{1}{2}\sin t\right ) = 2 + \sin t $

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{6}\cos t - 1 \right ). \left ( 2 + \sin t \right ) = 0 $

$\Leftrightarrow \cos t = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\dfrac{1 - 2x}{1 + 2x} } + \sqrt{\dfrac{1 + 2x}{1 - 2x} }$
Lời giải:
ĐK : $|x| \leq \dfrac{1}{2}$
Đặt $2x = \cos t , t \in \left ( 0 ; \pi\right )$. Phương trình đã cho trở thành :

$\left ( \sin \dfrac{t}{2} + \cos \dfrac{t}{2}\right )\sqrt{2} = \tan \dfrac{t}{2} + \cot \dfrac{t}{2}$

$\Leftrightarrow 2\left ( 1 + \sin t\right ) = \dfrac{4}{\sin ^2t}$

$\Leftrightarrow \sin ^3t + \sin ^2t - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \cos t = 0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$

Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình $x^3 - 3x = \sqrt{x + 2},\,\,\ \left ( 1\right )$
HD:
Nếu $x < - 2$ : phương trình không xác định .
Chú ý với $x > 2$ ta có :
$$x^3 - 3x = x + x\left ( x^2 - 4\right ) > x > \sqrt{x + 2}$$
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với $x \in [-2 ; 2]$
Đặt $x = 2\cos t , t \in \left ( 0 ; \pi\right )$
khi đó phương trình đã cho trở thành : $\cos 3t = \cos \dfrac{t}{2}$
Quy ẩn giang hồ

#3 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 15:57

2. Nếu $ |x| \geq a$ thì ta có thể đặt:
$*) x = \dfrac{a}{\sin t} , t \in \left ( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right ) , t \neq 0 $

$*) x = \dfrac{a}{\cos t} , t \in \left ( 0 ; \pi \right ) , t \neq \dfrac{\pi }{2}$

Ví dụ 5: Giải phương trình $ x^2 \left (2 - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1} } \right ) = 2$
Lời giải:
ĐK: $ |x| > 1$
Đặt $ x = \dfrac{1}{\sin t} , t \in \left ( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right )$. Phương trình đã cho trở thành:
$$ \dfrac{1}{\sin ^2t}\left ( 2 - |\tan t| \right ) = 2$$
$ \Leftrightarrow 2\cos ^2t = |\tan t|$

$\Leftrightarrow 4\cos ^4t = \dfrac{1}{\cos^2t} - 1$

$\Leftrightarrow 4\cos ^6t + \cos^2t – 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos^2 t = \dfrac{1}{2}.$

$\Leftrightarrow t = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi}{2}.$

Kết hợp với điều kiện của $t$ suy ra $ t = \pm \dfrac{\pi }{4}$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $ x = \pm \dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi }{4}} =\pm \sqrt{2}$

Bạn hãy tự tìm cách giải cho phương trình dạng tổng quát:
$$ x^2\left ( a - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1} } \right ) = a$$
Ví dụ 6: Giải phương trình $ x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1} } = 2\sqrt{2}$
Lời giải:
ĐK: $ |x| > 1$. Dễ thấy $\forall x<0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Đặt $ x = \dfrac{1}{\cos t} , t \in \left ( 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right ) $. Phương trình đã cho trở thành:
$ \dfrac{1}{\cos t} + \dfrac{1}{\sin t} = 2\sqrt{2}$

$ \Leftrightarrow \sin t + \cos t = 2\sqrt{2}\sin t.\cos t$

Đặt $u = \sin t + \cos t$, với $1 \leq u \leq \sqrt{2}$, ta có phương trình:
$$ \sqrt{2}u^2 – u – \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = \sqrt{2} \\ u = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right.$$
Ta loại nghiệm $u = - \frac{1}{\sqrt{2}} $
Với $u=\sqrt{2}$ ta có:

$$\sin t + \cos t = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin t \left (t + \dfrac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2} \Leftrightarrow t = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi $$

Kết hợp với điều kiện của $t$ ta có $t = \dfrac{\pi }{4} $
Vậy $ x = \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi }{4}} = \sqrt{2}$ (thỏa mãn)

Tương tự, ta có thể giải được phương trình dạng tổng quát:
$$ x + \dfrac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2} } = b$$
với $a, b$ là các hằng số cho trước
Quy ẩn giang hồ

#4 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:01

3. Đặt $ x = \tan t , t \in \left ( - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2} \right )$ để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn:

Ví dụ 7: Giải phương trình $ x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0$, $\left ( 1 \right )$
Lời giải:
Do $ x \neq \pm \dfrac{1}{\sqrt{3} }$ không là nghiệm của phương trình nên:
$$\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \sqrt{3},\,\, \left ( 2 \right )$$
Đặt $ x = \tan t , t \in \left ( - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2} \right )$ .
Khi đó $\left ( 2 \right )$ trở thành:
$$ \tan 3t = \sqrt{3}\Leftrightarrow t = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{\pi }{3}$$
Suy ra $\left ( 1 \right )$ có 3 nghiệm:
$$x = \tan \dfrac{\pi }{9} ; x = \tan \dfrac{2\pi }{9} ; x = \tan \dfrac{7\pi }{9} $$

Ví dụ 8: Giải phương trình
$$ \sqrt{x^2 + 1} + \dfrac{x^2 + 1}{2x} = \dfrac{\left ( x^2 + 1 \right )^2}{2x\left ( 1 - x^2 \right )}$$
Lời giải:
ĐK: $ x \neq 0 ; x \neq \pm 1$
Đặt $x = \tan t , t \in \left ( - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2} \right ) , t \neq 0 ; \pm \dfrac{\pi }{4} $. Phương trình đã cho trở thành:
$$ \dfrac{1}{cost} + \dfrac{1}{sin2t} = \dfrac{2}{sin4t}$$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{cost}\left ( 1 + \dfrac{1}{2sint} - \dfrac{1}{2sint.cos2t} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow 2sint.cos2t + cos2t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2sint\left ( 1 - 2sin^2t \right ) - 2sin^2t = 0$

$\Leftrightarrow sint\left ( 1 - sint - 2sin^2t \right ) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin t = 0 \\ \sin t = - 1 \\ \sin t = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - \dfrac{\pi }{2} + k2 \pi \\ t = \dfrac{\pi }{6} + k2 \pi \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện suy ra: $ t = \dfrac{\pi }{6}$
Vậy phương trình có 1 nghiệm: $ x = \dfrac{1}{\sqrt{3} }$
Quy ẩn giang hồ

#5 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:03

4. Mặc định điều kiện: $ |x| \leq a$. sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận:
Ví dụ 9: Giải phương trình $ \sqrt[3]{6x + 1} = 2x $
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
$$ 8x^3 - 6x = 1,\,\,\,\ (1)$$
Đặt $ x = cost , t \in [0 ; \pi] $. Phương trình $(1)$ trở thành:
$$ cos3t = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow t = \pm \dfrac{\pi }{9} + k \dfrac{2\pi }{3} (k \in \mathbb{Z})$$
Suy ra $(1)$ có tập nghiệm:
$$S = \left \{cos\dfrac{\pi }{9}; cos\dfrac{5\pi }{9} ; cos\dfrac{7\pi }{9} \right \}$$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm chính là $S$
Quy ẩn giang hồ

#6 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:05

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho:
Đưa phương trình về dạng sau:
$$ \sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x$$
khi đó:
Đặt $ \sqrt{f(x)} = t , t > 0 $. Phương trình viết thành:
$$ t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0$$
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình $ \sqrt{f(x)} = t$ sau khi đã đơn giản hóa và kết luận:

Ví dụ 10: Giải phương trình:
$$ 2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16},\,\,\ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ |x| \leq 2$
$(1) \Leftrightarrow 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16$
$\Leftrightarrow 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x$
Đặt $ t = \sqrt{2(4 - x^2)}$. Lúc đó phương trình trở thành:
$$ 4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0$$
Giải phương trình trên với ẩn $t$, ta tìm được:
$$ t_1 = \dfrac{x}{2} ; t_2 = - \dfrac{x}{2} - 4$$
Do $ |x| \leq 2$ nên $ t_2 < 0$ không thỏa điều kiện $ t \geq 0$ .
Với $ t = \dfrac{x}{2}$ thì:
$$ \sqrt{2(4 - x^2)} = \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ 8\left( {4 - x^2 } \right) = x^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{4\sqrt{2} }{3}$$ (thỏa mãn điều kiên $ |x| \leq 2$)

Ví dụ 11: Giải phương trình:
$$ x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq - 1$
Đặt $ t = \sqrt{x + 1} \geq 0$, phương trình đã cho trở thành:
$$ x.t^2 + 12u - 36 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{-6 \pm 6t }{x}$$
* Với $ t = \dfrac{-6 - 6t }{x}$ , ta có:
$$ (x + 6)t = - 6 $$
(vô nghiệm vì: $ VT \geq 0 ; VP < 0$)
* Với $ t = \dfrac{-6 + 6t }{x}$ , ta có:
$$ 6 = (6 - x)t$$
Do $ x = 6$ không là nghiệm của phương trình nên:
$$ t = \dfrac{6}{6 - x}\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \dfrac{6}{6 - x}$$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được: $ x = 3$ (thỏa mãn)
Bạn hãy tự giải phương trình dạng tổng quát:
$$ x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2$$
Quy ẩn giang hồ

#7 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:07

Ví dụ 12: Giải phương trình
$$ 3(\sqrt{2x^2 + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt{2x^2 + 1})$$
Lời giải:
Đặt $\sqrt{2x^2 + 1} = t \geq 1$. Phương trình đã cho viết thành:
$$ 3(t - 1) = x + 3(t^2 - 1) - 3x^2 + 8xt \Leftrightarrow 3t^2 - (8x - 3)t - 3x^2 + x = 0$$
Từ đó ta tìm được $ t = \dfrac{x}{3}$ hoặc $ t = 1 - 3x$
Giải ra được: $ x = 0$.

* Nhận xét: Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên. Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó. Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do, việc gải quyết $t $ theo $x$ được thực hiện dễ dàng hơn.

ví dụ 13: Giải phương trình:
$$ 2008x^2 - 4x + 3 = 2007x\sqrt{4x - 3}$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq \dfrac{3}{4}$
Đặt $ \sqrt{4x - 3} = t \geq 0$. Phương trình đã cho trở thành:
$$ 2008x^2 - 2007xt - t^2 = 0$$
Giải ra: $ x = t$ hoặc $ x = - \dfrac{t}{2008}$ (loại)
* $ x = t$ ta có:
$$ x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{array} \right.$$
Vậy $ x = 1, x = 3$ là các nghiệm của phương trình đã cho.

ví dụ 14: Giải phương trình:
$$ (4x - 1)\sqrt{x^3 + 1} = 2x^3 + 2x + 1$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq -1$
Đặt $ t = \sqrt{x^3 + 1}$. Phương trình đã cho trở thành:
$$ 2(t^2 - 1) + 2x + 1 = (4x - 1)t \Leftrightarrow 2t^2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0$$
Phương trình trên đã khá đơn giản. Bạn đọc tự giải
Quy ẩn giang hồ

#8 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:09

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = \dfrac{9}{4},\,\,(1)$$
Lời giải
ĐK : $x \geq - \dfrac{3}{2} $.
Đặt $\sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = t , t \geq 0 $ phương trình $(1)$ trở thành :
$$(t^2 - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4} – t \Leftrightarrow t(t^3 - 3t + 1) = 0 \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t^3 - 3t + 1 = 0,\,\, (2) \\ \end{array} \right.$$
$(2)$ giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$ để đưa về dạng : $cos3t = - \dfrac{1}{2}$

Tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a^2$$
Với $a$ là hắng số cho trước .

Ví dụ 16: Giải phương trình:
$$x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} =6x,\,\, (1)$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - 2$
Viết lại $(1)$ dưới dạng :
$$x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0,\,\,(2)$$
Đặt $t = \sqrt{x + 2} \geq 0 $. Khi đó $(2)$ trở thành :
$$x^3 - 3xt^2 + 2t^3 \Leftrightarrow (x - t)^2(x + 2t) = 0$$
Do vậy $x = t$ hoặc $x = -2t$
*$x = t $. Ta có :
$$x = \sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$$
*$ x = -2t$ . Ta có :
$$x = - \sqrt{x + 2}\left\{ \begin{array}{l} x \leq 0 \\ x^2 - 4x - 8 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt{3}$$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Ví dụ 17: Giải phương trình:
$$x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [1 ; 6],\,\,\ (1)$
Đặt $t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0,\ \ \ (2)$ phương trình đã cho trở thành :
$$t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 ,\ \ \ (3)$$
$$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 \Leftrightarrow (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0$$
Đối chiếu với hai điều kiện $(1)$ và $(2)$ thay vào và giải ra :
$$x = \dfrac{11 - \sqrt{17} }{2}$$

Ví dụ 18: Giải phương trình:
$$x = \left (2006 + \sqrt{x} \right )\left (1 - \sqrt{1 - \sqrt{x}} \right )$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [0 ; 1],\ \ \ \ (1)$
Đặt $t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }\Rightarrow 0 \leq t \leq 1$. Khi đó:
$$\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 $$
phương trình đã cho trở thành :
$$(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2$$
$$\Leftrightarrow (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 \Leftrightarrow 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)$$
Vì $0 \leq t \leq 1$ nên: $t^2 + t - 1003 < 0$
Do đó phương trình tương đương với :
$$t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$$
Do vậy $x = 0$ (thỏa $(1)$)
Quy ẩn giang hồ

#9 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:28

2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 19: Giải phương trình
$$\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3$$
Lời giải
Đặt $ a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}$
$$\Rightarrow a^2 - b^2 = 9x – 3 \Rightarrow a - b = a^2 - b^2 \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0$$
*$ a - b = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}$
*$ a + b - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 9x - 3 \\ 2a = 9x - 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{{56}}{{65}} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 20: Giải phương trình
$$2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8},\ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ - 2 \leq x \leq 1$ hoặc$ x \geq 2$
Đặt $ u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}$ ta có :
$$ u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .$$
$(1)$ trở thành :
$$ 2(u^2 - v^2) = 3uv \Leftrightarrow (2u + v)(u - 2v) = 0 \Leftrightarrow u = 2v$$
(Do $ 2u + v > 0$)
Để tìm $x$, ta giải :
$$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} \Leftrightarrow x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}$$
Kết hợp với điều kiện, phương trình $(1)$ có 2 nghiệm : $ x = 3 \pm \sqrt{13}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Ví dụ 22: Giải phương trình
$$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}$$
Lời giải:
ĐK : $ 0 \leq x \leq 1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[4]{x} \\ v = \sqrt[4]{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 0 \\ v \ge 0 \\ u^4 + v^4 = 1 \\ \end{array} \right.$
Từ phương trình ta được :
$$ u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v$$
$\Leftrightarrow (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0\Leftrightarrow (u - v)(1 - u - v) = 0 $( Do $ u + v > 0$)

từ đó ta giải ra được các nghiệm :$ x = 0 , x = \dfrac{1}{2} , x = 1 $
Quy ẩn giang hồ

#10 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:30

3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}$, ta có:
$$ a + b + c = 2$$
$$ a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8,\ \ \ (1)$$
Mặt khác: $ (a + b +c)^3 = 8,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)$$
Nên:
$$ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - b \\ b = - c \\ c = - a \\ \end{array} \right.$$
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: $ S = {- 1 ; 0 ; 1 ; 9}$

Ví dụ 24: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9}$ Suy ra:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3$$
khi đó từ $(1)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3) \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0$$
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: $ x = -3 ; x = 4 ; x = \dfrac{8}{5}$
Quy ẩn giang hồ

#11 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:33

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình $x^2 + \sqrt{x + 5} = 5$
Lời giải:
ĐK: $x \geq - 5$
Đặt $t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 $. Khi đó: $x = t^2 - 5$. Do đó ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ t^2 - x = 5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x^2 - t^2 + t + x =0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ (x + t)(x + 1 - t) = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{array}{l} \\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + t = 5 \\ x + 1 - t = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$$
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
$$x = \frac{{ \pm 1 - \sqrt {21} }}{2}$$

Bài toán tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a$$

b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng
$$\sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c$$
Ta đặt:
$$u = \sqrt[m]{a + f(x)};v = \sqrt[n]{b - f(x)}$$
Như vậy ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l} u + v = c \\ u^m + v^n = a + b \\ \end{array} \right.\]

Ví dụ 26: Giải phương trình
$$\sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ - 40 \leq x \leq 57$
Đặt $u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40}$
Khi đó:
$$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ u^4 + v^4 = 97 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ 2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ \left[ \begin{array}{l} uv = 6 \\ uv = 44 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\ uv = 6 \\ \end{array} \right.$$

Ta thu được $u = 2 ; v = 3 $hoặc $u = 3 ; v = 2$. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .

Ví dụ 27: Giải phương trình
$$\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2} }$$
Lời giải:
ĐK: $0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1 $
Đặt: $\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u ;\sqrt[4]{x} = v$ Với $0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} ; 0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1}$
Như vậy ta được hệ:
$$\left\{\begin{array}{l}u+v=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\\u^2+v^4=\sqrt{2}-1.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\\ \left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v \right)^2+v^4=\sqrt{2}-1\end{array}\right.$$

Giải $(1)$:
$$(1)\Rightarrow (v^2+1)^2-\left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}+v\right )^2 = 0\Rightarrow v^2-v+1-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}=0\Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{\dfrac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2},\ \ (v_{1,2} > 0)$$
Vậy $v_{1,2}$ (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ 28: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2$$
Lời giải:
Đặt: $y = \sqrt{x} , y \geq 0;z = 1 - \sqrt{x}$. Ta có:
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y+z=1, \ \ \ (1)\\uv=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y + z = 1 \\ {y^4} - {z^4} = \frac{7}{4}\sqrt x - 1, \ \ (2)\end{gathered} \right. $$
Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có
$$y^4 - (1 - y)^4 = \dfrac{7}{4}y - 1\Rightarrow 4y(y - \dfrac{3}{4})^2 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=0\\y=\frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{9}{{16}}\end{array} \right.$$
Quy ẩn giang hồ

#12 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:35

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng $x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b}$
Cách giải: Đặt $t = \sqrt[n]{ax - b}$ ta có hệ:
$$\left\{\begin{matrix}x^n + b = at\\t^n + b = ax\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 29: Giải phương trình $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}$
Lời giải:
Đặt: $t = \sqrt[3]{2x - 1}$ ta có:
$$t^3=2x-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\t^3+1= 2x\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t \\x^3-t^3=2(t-x)\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\(x-t)(x^2+t^2+t+tx+2)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t\\x^3-2x+1=0\ \ \ (1)\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\x^2+t^2+tx+2=0\ \ \ (2)\end{matrix}\right.$$
$$(1)\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0\Leftrightarrow x=1\vee x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$
$$(2) \Leftrightarrow (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0, \ \ (3) $$
Phương trình $(3)$ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=1 ;x= \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}$

Dạng 2: Phương trình dạng $x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} }$
Cách giải: Đặt $t = a + \sqrt{x}$
$$PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = a + \sqrt{t} \\t = a + \sqrt{x}\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 30: Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} }$
Lời giải:
ĐK: $x > 0$
Đặt: $t = 2007 + \sqrt{x},\ \ (1)$
$$PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2007 + \sqrt{t},\ \ (2) \\t = 2007 + \sqrt{x}, \ \ (3)\end{matrix}\right.$$
Trừ từng vế của $(3)$ cho $(2)$ ta được:
$$x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x} \Leftrightarrow (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0\Leftrightarrow x = t$$
$$(1) \Rightarrow x - \sqrt{x} - 2007 = 0\Rightarrow x = \dfrac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4}\ \ (x > 0)$$

Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31: Giải phương trình $x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1} $
Lời giải:
ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$. Đặt$\sqrt{2x - 1} = ay + b $. Chọn $a, b$ để hệ:
$$(I) \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(ay + b) \\(ay + b)^2 = 2x - 1\end{matrix}\right. ,\ \ \left (x \geq \dfrac{1}{2} ; y \geq 1 \right )$$
là hệ đối xứng.
Lấy $a = 1 , b = - 1 $ta được hệ:
$$ \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\y^2 - 2y = 2(x - 1)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\x^2 - y^2 = 0\end{matrix}\right.$$
Giải hệ trên ta được: $x = y = 2 \pm \sqrt{2}$
Đối chiếu với điều kiện của hệ $(I)$ ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: $x = 2 + \sqrt{2}$
Quy ẩn giang hồ

#13 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 22-07-2007 - 16:37

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : $\sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta$
Với các hệ số thỏa mãn :
$$\left\{\begin{matrix}d=ac+\alpha\\ e=bc+\beta\end{matrix}\right.$$
Cách giải :
Đặt $dy + e = \sqrt[n]{ax + b}$
Ví dụ 32: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - \dfrac{9}{4}$
$$PT\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7(x + \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{7}{4}$$
- Kiểm tra: $a = \dfrac{1}{7}; b = \dfrac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \dfrac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \dfrac{7}{4} .$
Đặt
$$y + \dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} }$$
$$\Leftrightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4x + 9}{28}\Leftrightarrow 7y^2 + 7y + \dfrac{7}{4} = x + \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7x,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7x \end{matrix}\right.$$
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 : Giải phương trình
$$x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .$$
Lời giải
$$PT \Leftrightarrow (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}$$
- Kiểm tra : $a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .$
Đặt :
$$y - 3 = \sqrt{x + 3} \Leftrightarrow y^2 - 6y + 9 = x +3 \Leftrightarrow x - 3 = y^2 - 6y + 3, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y - 3 = x^2 - 6x + 3, \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\ y - 3 = x^2 - 6x + 3 \end{matrix}\right.$$
Các bạn tự giải hệ trên.

Ví dụ 34: Giải phương trình:
$$\sqrt[3]{3x - 5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25$$
Lời giải :
$$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x - 5} = (2x)^3 - 3.4x^2.3 + 3.9.2x - 27 - x + 2\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x - 5} = (2x -3)^3 - x + 2$$
- Kiểm tra :$ a = 3 ; b = - 5 ; c = 1 ; d = 2 ; e = - 3 ; \alpha = - 1 ; \beta = 2 .$
Đặt :
$$2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5}\Leftrightarrow (2y - 3)^3 = 3x – 5$$
$$\Leftrightarrow 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27 = 3x - 5\Leftrightarrow 8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y – 3,\ \ \ (1)$$
Mặt khác : $8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y – 3,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3 \end{matrix}\right.$$
Các bạn tự giải hệ trên.
Quy ẩn giang hồ

#14 homersimson

homersimson

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 15-03-2012 - 12:26

Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình $x^3 - 3x = \sqrt{x + 2},\,\,\ \left ( 1\right )$
HD:
Nếu $x < - 2$ : phương trình không xác định .
Chú ý với $x > 2$ ta có :
$$x^3 - 3x = x + x\left ( x^2 - 4\right ) > x > \sqrt{x + 2}$$
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với $x \in [-2 ; 2]$
Đặt $x = 2\cos t , t \in \left ( 0 ; \pi\right )$
khi đó phương trình đã cho trở thành : $\cos 3t = \cos \dfrac{t}{2}$


Ai có cách giải khác dễ hơn cho TH x>2 thì giải giúp mình với
Với lại hình như giải thế này thiệu nghiệm x=2
Điều đẹp nhất mà con người có thể cảm nhận được đó chính là bí ẩn.
Nó là nguồn gốc của nghệ thuật và khoa học thực thụ.
Albert Einstein

Cong ăn cong, Thẳng ăn thẳng.
"Vẩu"


#15 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 15-03-2012 - 21:40

Ai có cách giải khác dễ hơn cho TH x>2 thì giải giúp mình với
Với lại hình như giải thế này thiệu nghiệm x=2

Phần chứng minh đã quá rõ ràng cho trường hợp $x>2$ không cần phải giải thích gì thêm, với lại bạn lưu ý rằng trong các nghiệm lượng giác mà ta giải ra được thì có một nghiệm $cost=1$ đấy lúc đó $t=0$

Cho em hỏi ví dụ 16 có nhầm đề hay cách giải không nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-12-2013 - 16:08

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#16 longnguyen171

longnguyen171

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-04-2012 - 11:21

Thưa BBT, trong ví dụ 25 , kết quả 2 nghiệm phải là $\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ và $\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ chứ ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longnguyen171: 23-04-2012 - 11:22


#17 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 12-05-2012 - 18:52

Cảm ơn các bạn, BBT đã sửa lại

Cho em hỏi có file dowload không ạ?
___
NLT

ai có thể giải thích cho mình ví dụ 11,17 k?

Các anh xem lại đoạn này giúp em với, phương trình lúc đâu và lúc viết lại không giống nhau hay nói cách khác là không tương đương :).

bạn ơi,hình như vế 0 phải là 6x.bạn thử lại xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-12-2013 - 16:10

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#18 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 13-05-2012 - 15:30

File Pdf File gửi kèm  VMFDat-an-phu-PT-vo-ti.pdf   268.25K   4585 Số lần tải


ĐCG !

#19 tieulong10

tieulong10

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 13-08-2012 - 16:08

Ví dụ 4 (THTT):cho minh hỏi tại sao lại xét x<-2 , x>2

:icon6: :ukliam2: :lol:


VD3 của pp lượng giác hóa hình như giải sai :icon13:

:ohmy: :icon13: :ohmy:



#20 bimham

bimham

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 02-03-2013 - 00:00

Các bạn có thể xem hộ mình ví dụ 17 được không? Tại sao lúc biến đổi vế phải lại bằng 5?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh