Đến nội dung

Hình ảnh

Cực trị hình học và hình chiếu của một điểm trên 3 cạnh tam giác nội tiếp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
Có 2 bài xin thình giáo :D
Bài 1:Cho $\Delta ABC$ vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. P là một điểm di chuyển trên nửa đường tròn không chứa A. Gọi $K,L,M$ lần lượt là hình chiếu của P trên $BC,AC,AB$. Đặt $PK=x;PL=y;PM=z;BC=a;AC=b;AB=c$. Tìm GTNN của:
$S=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$
Bài 2: Cho Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M nằm trên cung nhỏ AC. Kẻ $ME\perp AC;MF\perp BC$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,EF$.
CMR:$\Delta PQM$ vuông

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 05-02-2012 - 22:37

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2
hoclamtoan

hoclamtoan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
h.JPG
Các tứ giác MBKP, PKLC nt $\widehat{PKL}+\widehat{ACP}=180^{o}$
Mà $\widehat{ACP}=\widehat{MBP}=\widehat{MKP}$
$\Rightarrow \widehat{PKL}+\widehat{MKP}= 180^{o}\Rightarrow$ M, K, L thẳng hàng.
* $\frac{a}{x} =\frac{BC}{PK}=\frac{BK}{PK}+\frac{KC}{PK}=tanBPK+tanCPK$ (1)
* $\frac{b}{y} +\frac{c}{z}=\frac{AC}{PL}+\frac{AB}{PM}=\frac{AL}{PL}+\frac{LC}{PL}+\frac{AM}{PM}-\frac{BM}{PM}$
$=tanAPL+tanLPC+tanAPM+tanBPM$ (2)
Mà $\widehat{BPK}=\widehat{BMK}=\widehat{APL};\widehat{LPC}=\widehat{LKC}=\widehat{BKM}=\widehat{BPM}$ (3)
Từ (1)(2)(3) $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\Rightarrow S=2.\frac{a}{x}$
a không đổi nên S min khi x = PK max
Từ O kẻ đường vuông góc với BC cắt cung BPC tại P'.
$\Rightarrow PK\leqslant OP=OP'$
PK max khi x = PK = OP' = a.
$\Rightarrow S_{min} = 2$

h.JPG
Từ M kẻ $MK\perp AB tại K.$ Cmtt bài 1. ta được : K, E, Q, F thẳng hàng.
Có : $\widehat{EMF}=\widehat{ACB}=\widehat{AMB};\widehat{ABM}=\widehat{KFM}$
$\Rightarrow \Delta MAB\sim \Delta MEF\Rightarrow \frac{MA}{ME}=\frac{AB}{EF}=\frac{2AP}{2EQ}$
$\Rightarrow \Delta MAP\sim \Delta MEQ\Rightarrow \widehat{APM}=\widehat{EQM}$
$\Rightarrow$ MKPQ nt $\Rightarrow \widehat{K}=\widehat{Q}=90^{o}\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-02-2012 - 21:30


#3
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
Hóa ra hai bài này phải xài Sim-sơn :D.
Mình thắc mắc tí:

* $\frac{b}{y} +\frac{c}{z}=\frac{AC}{PL}+\frac{AB}{PM}=\frac{AL}{PL}+\frac{LC}{PL}+\frac{AM}{PM}-\frac{BM}{PM}$

Chỗ này chắc bạn hơi nhầm tí: $\frac{AC}{PL}+\frac{AB}{PM}=\frac{AL}{PL}+\frac{LC}{PL}+\frac{AM}{PM}+\frac{BM}{PM}$ (Nhầm dấu cộng thành trừ)

Dù sao cũng cảm ơn bạn nhiều :)

P/s:

Từ (1)(2)(3) $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\Rightarrow S=2.\frac{a}{x}$

Sao chỗ này mình thay góc vào không đc nhỉ. $\widehat{CPK}$ thay bằng góc gì đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 07-02-2012 - 17:54

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh