Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 07-02-2012 - 00:00
Chứng minh $ab+bc+ac>0$ và $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}>0$ thì $ a, b, c$ cùng dấu.
Bắt đầu bởi cvp, 06-02-2012 - 21:19
#1
Đã gửi 06-02-2012 - 21:19
cvp
-
- Thành viên
-
- 400 Bài viết
Sĩ quan
Chứng minh $ab+bc+ac>0$ và $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}>0$ thì $ a, b, c$ cùng dấu.
#2
Đã gửi 07-02-2012 - 03:48
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Bài này có thể làm một cách khá ngắn gọn như sau
từ giả thiết suy ra $\dfrac{a + b + c}{abc} > 0$
TH1. $a + b + c > 0, abc > 0$
$$\left\{\begin{array}{1}a + b + c > 0 \\abc > 0 \\ab + bc + ca > 0 \end{array}\right.$$
Nếu $a < 0 (I) \Leftrightarrow b + c > 0 (1), bc < 0 (2) , a(b + c) + bc > 0 (3)$
Từ $(I), (1) , (3) \Leftrightarrow bc > 0 $ Mâu thuẫn (2) suy ra $a > 0$ .Tiếp tục như vậy với $b, c$ ta suy ra $a, b, c > 0$
TH2. $$\left\{\begin{array}{1}a + b + c < 0 (1') \\abc < 0 (2') \\ab + bc + ca > 0 (3') \end{array}\right.$$
Nếu $a > 0 $ Từ $(1'), (2'), $ suy ra $b + c < 0, bc < 0,\Leftrightarrow a(b + c) + bc < 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca < 0$ mâu thuẫn (3')
do đó, $a, b, c < 0$
Suy ra ĐPCM.
từ giả thiết suy ra $\dfrac{a + b + c}{abc} > 0$
TH1. $a + b + c > 0, abc > 0$
$$\left\{\begin{array}{1}a + b + c > 0 \\abc > 0 \\ab + bc + ca > 0 \end{array}\right.$$
Nếu $a < 0 (I) \Leftrightarrow b + c > 0 (1), bc < 0 (2) , a(b + c) + bc > 0 (3)$
Từ $(I), (1) , (3) \Leftrightarrow bc > 0 $ Mâu thuẫn (2) suy ra $a > 0$ .Tiếp tục như vậy với $b, c$ ta suy ra $a, b, c > 0$
TH2. $$\left\{\begin{array}{1}a + b + c < 0 (1') \\abc < 0 (2') \\ab + bc + ca > 0 (3') \end{array}\right.$$
Nếu $a > 0 $ Từ $(1'), (2'), $ suy ra $b + c < 0, bc < 0,\Leftrightarrow a(b + c) + bc < 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca < 0$ mâu thuẫn (3')
do đó, $a, b, c < 0$
Suy ra ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 07-02-2012 - 10:58
- cvp, perfectstrong và minhtuyb thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
