Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Nếu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ thì abc $\vdots $ 15


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 07-02-2012 - 21:00

1) Nếu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ thì abc $\vdots $ 15
2) tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số.Biết số đó chia 19 dư 12,chia 31 dư 13 (em cần lời giải hoàn chỉnh)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 07-02-2012 - 21:40

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#2 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 07-02-2012 - 21:38

Cho mình mạn phép giải câu 1 nhé:

Giả thiết: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ; abc $\vdots$ 15

Ta có:
$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 3 dư 0 hoặc 1.

TH1: $c^{2}$ chia hết cho 3:

=> c chia hết cho 3=>abc chia hết cho 3. (1)

TH2: $c^{2}$ chia 3 dư 1:


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 3 dư 0, 1 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 3 dư 0,1.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 3 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 3, $b^{2}$ chia 3 dư 1.
=> abc chia hết cho 3 vì a chia hết cho 3. (2)

$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4.


TH1: $c^{2}$ chia hết cho 5.

=> c chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5 (3)

TH2: $c^{2}$ chia 5 dư 1.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 1.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (4)

TH3: $c^{2}$ chia 5 dư 4.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 4 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 4.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) => abc chia hết cho 3 và 5 mà (3,5) = 1 nên abc chia hết cho 15.

#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 07-02-2012 - 21:50

Giải như sau:
2) Ta có gọi số đó là $N$ suy ra $N=19k+12$
Do vậy $19k+12 \equiv 13 \pmod{31} \rightarrow 19k \equiv 1 \pmod{31}$
Đặt $k=31p+q$ suy ra $589p+19q \equiv 1 \pmod{31}$ lại thấy $31|19.18-1$ nên chọn $q=18$
Do vậy $N=589q+354$
Lại thấy $N$ có $10$ chữ số nên $N\geq 10^9 \rightarrow 589q+354\geq 10^9 \rightarrow q\geq [\dfrac{10^9-354}{589}]=1697792$
Do vậy $N$ nhỏ nhất khi $q$ nhỏ nhất và $N$ có 10 chữ số do vậy $q=1697793 \rightarrow N=1000000431$
Vậy $\boxed{N=1000000431}$

Nhân tiện mình vừa gặp được bài hay, xin pót cho các bạn làm:
Bài toán:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-02-2012 - 22:06


#4 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 07-02-2012 - 22:12

Mình xin được đáp bài này:

Bài toán:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$


Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh