Chủ đề này có 1 trả lời

[Ban Biên Tập]

Dù hơn hai ngàn năm nay toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảng của nhiều lí thuyết khoa học quan trọng, nhưng với không ít người, vai trò của “nữ hoàng khoa học” trong đời sống xã hội vẫn còn là đối tượng tranh luận.

Trong cuộc tranh luận đó luôn có hai luồng. Một luồng đánh giá cao vai trò của toán học, trong khi luồng khác nghi ngờ vai trò của nó, thậm chí phủ định[1]. Thực tế này khiến chúng ta phải đặt lại câu hỏi: toán học có vai trò đến đâu trong xã hội chúng ta (trong khoa học tự nhiên vai trò của toán học không cần bàn cãi) và vì sao xã hội chưa thấy hết vai trò của toán học.

Vì sao xã hội không thấy hết vai trò của Toán học?

Từ thế kỷ mười chín trở về trước, một nhà toán học có thể vừa là nhà vật lí, nhà triết học hay nhà tự nhiên học. Sang thế kỷ hai mươi khi toán học đã trở thành một ngành độc lập, phần lớn các nhà toán học cũng trở thành những nhà toán học thuần túy, xa rời và ít quan tâm đến những vấn đề thực tế. Phần lớn thời gian của họ được dành để giải quyết các vấn đề phát triển nội tại của toán học vốn ngày càng phức tạp hay các vấn đề khoa học hàn lâm khác theo kiểu “toán học vị toán học”, tương tự như trào lưu “nghệ thuật vị nghệ thuật”. Hiện tượng này thực ra không có gì lạ, vì như lời một học giả, mỗi khi một sự vật nào đó đã tích lũy được một lượng tri thức nhất định, nó sẽ bắt đầu sống đời sống riêng của nó, ngoại trừ một phần tri thức sẽ ra phục vụ bên ngoài còn phần lớn là đời sống nội tại của chính nó. Toán học cũng không nằm ngoài qui luật này. Nội tại của nó phong phú tới mức “thậm chí ngay một bộ phận nào đó của toán học thuần túy đã rộng lớn đến mức vượt qua khả năng thấu hiểu của con người”[2].

Thế nên dù vai trò của toán học trong các ngành khoa học tự nhiên là vô cùng to lớn, trong con mắt xã hội hình ảnh các nhà toán học cùng những lý thuyết toán học của họ trở nên xa lạ. Năm 1980 tại Warszawa tác giả bài viết này đã chứng kiến cuộc chia tay với Kazimierz Kuradowski, nhà toán học lớn của thế giới, một chuyên gia hàng đầu về Topo: Chỉ một thông báo nhỏ trên báo Đảng và một đoàn người không đông gồm đồng nghiệp và học trò đưa tiến ông đến nới an nghỉ cuối cùng. Cùng thời gian đó có hàng vạn người hâm mộ theo sau đám tang của một vận động viên thể thao nổi tiếng. Những người làm toán chắc không tránh khỏi chạnh lòng dẫu họ rất hiểu nghề nghiệp mà mình đã lựa chọn (như cụ Nguyễn Du đã từng viết trong Truyện Kiều: “Đã mang lấy nghiệp vào thân, cũng đừng trách lẫn trời gần trời xa”).

Sự thật là toán học có vai trò rất to lớn trong đời sống thường ngày nhưng không dễ nhìn thấy. Nó có mặt trong các thiết bị được sử dụng rộng rãi nhưng thường bị che lấp bởi công nghệ. Liệu có bao nhiêu khách hàng thuê bao điện thoại biết được để mạng điện thoại vận hành thông suốt có sự đóng góp không nhỏ của thuật toán đơn hình - một thuật toán cơ bản của lí thuyết qui hoạch toán học. Hàng loạt các thiết bị gia dụng thông minh ngày nay được tích hợp các phương pháp của logic mờ. Những người làm công ăn lương vẫn nhận tiền qua các máy ATM nhưng mấy ai biết nếu không có các thuật toán an toàn trong đó thì số tiền của họ sẽ không cánh mà chui vào túi của đạo chích. Và đó cũng chỉ là một số ví dụ đơn cử.

Nhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có thể ứng dựng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng nhất định và một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người. Nhưng trên thực tế, rất ít người, kể cả những người có học vấn tương đối, thực hiện những kỹ năng này. Không chỉ ở những nước còn lạc hậu mà ngay tại những nước tiên tiến như Hoa Kỳ, theo nhận xét của Andrei Okunkov, nhà toán học Nga đoạt giải Fields, giáo sư Đại học Princeton, người Mỹ đều mong muốn trở nên giàu có khi về già nhưng không mấy ai biết vận dụng một số kĩ năng của lí thuyết xác suất khả dĩ có thể giúp họ đưa ra những quyết định có lợi cho việc thực hiện giấc mơ của mình [2].

Vài suy nghĩ về vai trò của toán học trong xã hội

Hơn một trăm năm trước Karl Marx đã nói rằng một ngành khoa học chỉ trở nên hoàn thiện khi nó sử dụng được ngành khoa học định lượng-đó là toán học. Lịch sử phát triển các ngành khoa học tự nhiên đã hoàn toàn khẳng định luận điểm này của Marx. Nhưng luận điểm đó còn đúng cả với nhiều lĩnh vực xã hội.

Được thôi thúc bởi khát vọng tìm kiếm và sáng tạo, các nhà toán học đã không dừng lại ở các ngành khoa học tự nhiên mà chuyển sang cả các lĩnh vực xã hội. Trong nửa đầu thế kỷ hai mươi họ đã cho ra đời không ít công cụ toán học có thể áp dụng để phân tích bản chất các quá trình xã hội: các phương pháp thống kê xã hội, lí thuyết toán học các xung đột và hợp tác(lí thuyết trò chơi), các mô hình toán học trong kinh tế, phương pháp phân tích hệ thống, lí thuyết các hệ động lực. Một số nhà toán học đã giành được giải Nobel, một giải thưởng khoa học danh giá vốn không dành cho các nhà toán học, như Kantorovich - Nhà toán học Nga, “vì những đóng góp vào lí thuyết phân bố tối ưu tài nguyên” và John Nash - nhà toán học Mỹ, “vì các công trình về lí thuyết trò chơi”.

Từ đầu thập kỷ bảy mươi của thế kỷ trước sự ra đời của máy tính điện tử đã tạo ra một bước ngoặt mới cho việc áp dụng toán học vào xã hội, và ở chừng mực nào có thể nói từ đây toán học cũng đã trở thành một ngành khoa học thực nghiệm giống như vật lí, hóa học, sinh học và một số ngành khác. Nghĩa là ban đầu các quá trình xã hội được mô hình hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học (gọi là mô hình toán học-hệ thống các tương quan toán học mô tả dưới dạng thu gọn quá trình xã hội), sau đó chúng được chạy trên máy tính điện tử và có thể được thử đi thử lại nhiều lần. Trên cơ sở đó, người ta đã thu được nhiều kết quả quan trọng.

Các nhà toán học còn tiến xa hơn, họ đã không dừng lại ở việc mô phỏng các quá trình xã hội ở qui mô nhỏ, vừa, mà thậm chí còn mô phỏng cả những vấn đề ở tầm hành tinh. Từ đây đã ra đời một lĩnh vực liên ngành rộng lớn: mô hình hóa toàn cầu (global modeling) và nhiều hướng mới trong khoa học: lí thuyết toán học về phát triển, lí thuyết các hệ sinh thái, lí thuyết quyết định v.v. Qua đó con người đã thu được rất nhiều thành tựu cho phép phát hiện ra bản chất của các quá trình chính trị-xã hội.

Toán học không chỉ góp phần vào phân tích và khám phá những bí mật của các quá trình xã hội, toán học còn là bộ phận cấu thành không thể thiếu của những sản phẩm phục vụ đời sống hằng ngày: các hàm băm toán học (hash functions) trong các cấu trúc an ninh của hệ điều hành máy tính, các thuật toán bảo vệ dữ liệu cá nhân và xác thực danh tính trong các thẻ giao dịch tài chính, ngân hàng, các thuật toán tạo chữ kí điện tử thay thế chữ kí tay, tổ hợp các thuật toán trong chứng thư điện tử được sử dụng trong giao dịch điện tử, công nghệ toán học mờ (Fuzzy Mathematics) trong các thiết bị điều khiển và các thiết bị gia dụng. Có vô vàn những ví dụ khác mà người ta có thể kể ra.

Những hạn chế

Tuy nhiên theo ý kiến của nhiều nhà khoa học, những thành tựu của việc áp dụng toán học vào khoa học xã hội còn rất hạn chế, và rất khiêm tốn so với những thành tựu của nó trong lĩnh vực khoa học tự nhiên. Ví như trong kinh tế học, nơi toán học được áp dụng sớm nhất và đạt nhiều thành tựu nhất, nhưng trên thực tế vẫn chưa thể phán ánh hết được những hiện tượng quan trọng nhất của kinh tế [5].

Việc ứng dụng toán học vào xã hội có những đặc thù riêng là nguyên nhân của hạn chế nói trên. Muốn áp dụng toán học nhà toán học phải xây dựng được mô hình toán học - tập hợp các quan hệ toán học phán ảnh những khía cạnh định lượng của các quá trình xã hội. Đây được coi là khâu khó nhất; thứ đến mới là công việc giải mô hình, tức là giải các vấn đề toán học trên đó. Nhưng khi xây dựng mô hình các nhà toán học phải làm việc với đối tượng có bản chất hoàn khác với các đối tượng của tự nhiên, tính bất định cao hơn, nhiều yếu tố ngẫu nhiên hơn, và nếu mô hình muốn tính đến cả hành vi xã hội bao gồm hành vi của tổ chức và con người thì có lẽ như Andrei Okunkov đã nói “ở đây toán học chạm vào ranh giới của cái không thể ”[2].

Hơn nữa muốn xây dựng được mô hình toán học phản ánh được các quá trình xã hội đòi hỏi các nhà toán học phải xâm nhập sâu vào các quá trình đó và hợp tác chặt chẽ với các nhà nghiên cứu xã hội. Điều này không phải nhà toán học nào cũng sẵn sàng hoặc không phải lúc nào cũng có điều kiện. Nikita Moiseev - người có cống hiến to lớn trong ứng dụng toán học vào xã hội, cho biết để xây dựng các mô hình kinh tế ông đã phải vừa học vừa làm trong hơn mười năm. Paul Embrechts, người đã cảnh báo về khủng hoảng tài chính thế năm 2008, là một nhà toán học đã dành nhiều năm làm việc cho giới tài chính.

Trong sự hợp tác giữa toán học và các ngành xã hội, tất nhiên sẽ có sự đụng độ giữa hai lối tiếp cận, hai kiểu tư duy: với các nhà toán học là sự chặt chẽ, chính xác; với các nhà xã hội là tính khuynh hướng, sự ước lệ trong ngôn ngữ. Vì vậy chỉ có thể xây dựng được mô hình toán học cho các quá trình xã hội khi biết kết hợp các phương pháp của toán học với kĩ thuật phân tích của xã hội học, một việc mà trong thực tế không phải lúc nào cũng làm được. Hơn nữa kết quả thu được bao giờ cũng là phương án thỏa hiệp. Do đó dù mô hình toán học tốt đến đâu cũng chỉ là phương án thu gọn thực tiễn, và chỉ phán ánh một số khía cạnh nào đó của sự vật, khiến những kết luận mà chúng đem lại thường là đối tượng gây tranh cãi và không được xem là “các định lí về xã hội”. Một đặc điểm nổi bật nữa của một mô hình toán học trong xã hội là việc thử nghiệm trên thực tế đòi hỏi đầu tư tốn kém nhân lực và vật lực, hơn nữa lại không thể lặp đi lặp lại nhiều lần như ở các thí nghiệm vật lí hoặc hóa học.

“Hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”

Quá trình sản xuất và đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã hội ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học ngày càng lớn. Dĩ nhiên không phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học, nhưng không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục những vùng đất mới của các nhà toán học. Hàng ngàn năm trước nhà triết học Socrates đã nói “Hãy đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”. Các nhà toán học một cách ý thức hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó. Họ trở thành một lực lượng đông đảo, có đóng góp lan tỏa rộng khắp trong đời sống. Toán học ngày nay đã trở thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm toán trên thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội. Chỉ ngần ấy đủ cho thấy vai trò không thể phủ định của toán học trong xã hội.

---------------------

Tài liệu tham khảo

[1] Người làm toán giỏi: Rất lãng phí –Vietbao.vn 21/2/2006

[2] Anerei Okunkov nói về toán học- Tia sáng 20/11/2011

[3] Nguyễn Tiến Dũng: Nhà toán học đã cảnh báo khủng hoảng tài chính.Zung.Zetamu.net 8/10/2011

[4] John Forber Nash: Wikipedia

[5] Nikita Moiseev- Chia tay với sự giản đơn (Bản tiếng nga).Moskva 1998

[6] Dennis Meadows,Donella Meadows,Jorgen Renders: The Limits to growth

[7] Jorgen Stig Norgard, John Peet: The History Limit to Growth

[8] N.Moiseev, V Alexandrov, A. Tarko: Con người và sinh quyển (Tiếng Nga)-Moskva 1985

Theo Tia Sáng

[Ban Biên Tập]

Bài nói của GS Hà Huy Khoái ở Hội thảo về Phổ thông chuyên Toán, ĐHQG Hà Nội tổ chức, tháng 1/1998.

Câu hỏi “Toán học phổ thông: tồn tại hay không tồn tại?” đặt ra ở một hội nghị bàn về “Giảng dạy toán học phổ thông và toán học phổ thông với toán học hiện đại”, chắc chắn sẽ gây nhiều tranh cãi. Tuy nhiên, người viết bài này hy vọng sẽ tránh được phần nào “búa riù”, bởi lẽ bản báo cáo không những nhằm mục đich “chứng minh” không tồn tại “toán học phổ thông”, mà còn “chứng minh” sự không tồn tại của “toán học hiện đại”. Nói cách khác, chỉ tồn tại một Toán học duy nhất. Chúng tôi cũng mạnh dạn góp một vài ý kiến rất chủ quan của mình về việc làm thế nào bồi dưỡng cho học sinh lòng say mê toán học từ những bài học ở nhà trường phổ thông.

Tồn tại khá phổ biến trong học sinh quan niệm cho rằng, toán học đã là một “lâu đài đẹp đẽ”, khó có thể phát kiến thêm điều gì ở đó, và toán học bao giờ cũng rất xa rời với thực tiễn. Vì thế, để hướng cho các em say mê với toán học, không gì hơn là cho các em thấy rõ, từ những trang sách nhà trường đến những ứng dụng lớn lao nhất của toán học chỉ là một bước nhỏ, và hầu như ai cũng có thể vượt qua bước đó, chỉ cần suy nghĩ sâu hơn một chút! Đó cũng là nội dung chủ yếu mà báo cáo này muón đề cập đến, thông qua việc trình bày một số thành tựu quan trọng nhất của toán học, mà một học sinh với kiến thức phổ thông có thể hiểu rõ, ít nhất là về ý tưởng.

1. Từ Eratosthènes đến mật mã khoá công khai.
Ngay từ bậc tiểu học, chúng ta đã biết, sàng Eratosthenes cho cách tìm tất cả các số nguyên tố. Và bất kì học sinh nào cũng biết phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố. Bài toán tưởng chừng như quá đơn giản, và không còn gì để nghiên cứu nữa. Nhưng phải chăng, việc chúng ta kết thúc bài giảng tại đó là chưa hợp lí? Trong thời đại mà tin học xâm nhập vào mọi lĩnh vực của đời sống, thiết tưởng nên để cho học sinh biết rằng thời gian để phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhiều khi thật khó chấp nhận. Chẳng hạn, thời gian cần thiết để phân tích một số có khoảng 200 chữ số ra thừa số nguyên tố (với một máy tính tốc độ 1 triệu phép tính trên 1 giây) là… 3,8 tỷ năm! Vậy chúng ta đành bó tay trước những số lớn như vậy sao? Ở đây, toán học đã “lợi dụng “ sự yếu kém của máy tính, và đó là nguyên nhân ra đời của một hiện tượng gây nhiều tiếng vang: các hệ mật mã khoá công khai. Nói một cách vắn tắt, tư tưởng của nó là như sau. Để có thể tiếp nhận thông tin mật mà người khác gửi đến cho mình, mỗi người chỉ cần công bố công khai một “khoá lập mã”, là một số nguyên n đủ lớn (khoảng 200 chữ số). Ai cũng có thể mã hoá các thông báo và chuyển cho người cần nhận khi biết khoá n đó. Tuy vậy, để đọc được thông báo đó, cần biết cách phân tích số n ra thừa số nguyên tố, và việc làm này mất hàng tỷ năm! Với người đã công bố khoá thì vấn đề quá đơn giản: số n chính là số mà anh ta nhận được bằng cách nhân hai số nguyên tố đủ lớn đã chọn sẵn. Và như vậy, anh ta chỉ cần giữ bí mật hai số nguyên tố đó, không một ai khác biết các số đó. Điều này thực sự khác với các hệ mật mã cổ điển, khi mà mọi người cùng trong một hệ thống đều nắm được bí mật của nhau, và do đó, bí mật này rất dễ bị lộ.

Sự ra đời của các hệ mật mã khoá công khai là một cuộc cách mạng lớn trong thông tin. Vậy mà để giải thích nó, chỉ cần đến kiến thức của học sinh cấp hai! Điều này đã thực sự xoá nhoà ranh giới giữa toán học “phổ thông” và toán học “hiện đại”, thậm chí, ranh giới giữa toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Một công trình nghiên cứu toán học thuần tuý có thể ngay lập tức bước vào thực tiễn.

Vậy nhưng con đường từ toán học đến thực tiễn không phải bao giờ cũng nhanh chóng và bằng phẳng như vậy. Tôi muốn nói dến một trong những ứng dụng vĩ đại nhất trong lịch sử, và thời gian đi từ lí thuyết đến thực tiễn là vào khoảng 2000 năm! Và một lần nữa, lại là ví dụ cho thấy từ trang sách toán phổ thông có thể đi đến những phát kiến vĩ đại

2. Từ Apollonius đến Kepler và Newton.
Các thiết diện côníc đã được nhà toán học cổ Hy Lạp Apollonius nghiên cứu vào thế kỉ thứ 3 trước công nguyên. Trong nhiều thế kỉ, đó là một lí thuyết đẹp, nhưng cũng giống như nhiều lí thuyết toán học khác, chỉ được xem như các “trò chơi của trí tuệ”. Mãi đến đầu thế kỉ 17, lợi ích của lí thuyết này mới được chứng minh, khi Johannes Kepler phát minh ra luật chuyển động của các hành tinh. Thầy học của ông, nhà thiên văn Tycho Brahe đã tiến hành đo đạc trong vòng 20 năm tại đài thiên văn Uraniborg về vị trí các hành tinh trong hệ mặt trời, và đi đến kết luận rằng, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo vòng tròn. Sau khi Tycho Brahe qua đời, Kepler lãnh đạo đài thiên văn và ông không bằng lòng với kết luận cho rằng, độ lệch khỏi vòng tròn của quỹ đạo các hành tinh mà đài quan sát được chỉ là sai số đo đạc. Vốn là người rất say mê lí thuyết các đường côníc và hiểu rõ rằng, các đường ellip với hai tiêu cự rất gần nhau trông rất giống đường tròn, Kepler nghi ngờ rằng, các quỹ đạo đã được xem là đường tròn đó rất có thể lại là các ellip. Sau khi kiểm tra lại kĩ lưỡng, Kepler đi đến phát minh vào loại vĩ đại nhất trong lịch sử: các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo ellip. Phát kiến này được Newton chứng minh vào cuối thế kỉ 17 bằng lí thuyết vạn vật hấp dẫn.

Như vậy, bằng trí tuệ của mình, Apollonius đã phát hiện ra những đường cong vĩ đại của vũ trụ, và đẩy nhanh sự phát minh ra một trong những quy luật quan trọng nhất của tự nhiên.

3. Từ Archimede đến Einstein.
Nếu như những ví dụ trên đây cho thấy, đằng sau các khái niệm và kiến thức toán học phổ thông có thể ẩn náu những thành tựu hiện đại nhất của toán học và những phát kiến vĩ đại nhất, thì ví dụ tiếp theo sẽ lại một lần nữa cho học sinh thấy rằng ”lâu đài toán học” không phải đã hoàn hảo như ta tưởng, và ở đó còn nhiều việc cần làm.
Khi bắt đầu với bộ môn hình học, chúng ta đều giảng về một tiên đề rất trực quan, đó là tiên đề Archimede: khi dùng một đoạn thẳng làm đơn vị để đo một đoạn thẳng khác dài hơn, ta sẽ được một số nguyên lần đơn vị đo, và còn lại một đoạn có độ dài bé hơn đơn vị. Chắc ít ai nghi ngờ gì về tiên đề đã nêu. Tuy nhiên, tình hình sẽ thay đổi hẳn khi ta suy nghĩ sâu hơn một chút về sự thống nhất của thế giới vĩ mô và vi mô.

Một trong những bài toán cơ bản mà Einstein có ước mơ giải quyết là xây dựng một lí thuyết trường thống nhất cho cả thế giới vĩ mô và thế giới vi mô. Dĩ nhiên, trong một lí thuyết thống nhất như vậy chúng ta phải dùng “khoảng cách” thống nhất. Điều gì sẽ xẩy ra, nếu khoảng cách này thoả mãn tiên đề Archimede? Khi đo khoảng cách trong thế giới vi mô, ta thường dùng “thang Planck”, bằng khoảng 10^-35 cm. Hãy hình dung việc lấy thang đó làm đơn vị để đo khoảng cách giữa các vì sao. Ta sẽ được một số hữu hạn lần đơn vị đo, và có thể “còn lại” một khoảng bé hơn 10^-35 cm? Lần này, trực giác khó làm cho ta chấp nhận, như đã chấp nhận tiên đề Archimede bằng trực giác. Vậy, phải chăng để xây dựng được lí thuyết trường thống nhất, ta cần một khái niệm khoảng cách mà trong đó tiên đề Archimede không còn đúng nữa? Câu hỏi này đã được nhiều nhà vật lí nghiên cứu, và trong những năm gần đây đã ra đời bộ môn vật lí không Archimede. Khoảng cách được dùng trong đó chính là khoảng cách không thoả mãn tiên đề Archimede (khoảng cách p-adic) đã được xây dựng từ lâu trong toán học. Một điều thú vị là, định lí Ostrovski khẳng định rằng, nếu trên tập hợp các số hữu tỉ, ta cho một khoảng cách thoả mãn các tiên đề thông thường thì đó hoặc phải là khoảng cách thông thường, hoặc là khoảng cách p-adic với một số nguyên tố p nào đó. Như vậy, việc đưa thêm các khoảng cách p-adic đã vét cạn mọi khoảng cách có thể được cho trên tập hợp các số hữu tỷ. Khoảng cách p-adic có ứng dụng không chỉ trong các bài toán hình học, mà còn cả trong số học. Thực ra, khoảng cách này bắt đầu từ những nghiên cứu số học.

Như vậy, ngay đằng sau một tiên đề của hình học phổ thông, ta đã thấy mầm mống của sự xuất hiện một ngành mới của toán học hiện đại, và thậm chí, một ngành vật lí mới.

Có thể dẫn ra nhiều ví dụ tương tự để chứng minh rằng, không có khoảng cách nào giữa toán học phổ thông và toán học hiện đại. Vậy thì, chúng ta cần giảng dạy như thế nào để học sinh phổ thông yêu thích môn toán và có hình dung đúng đắn về toán học hiện đại? Đây là một vấn đề quá lớn, và chúng tôi chỉ xin mạnh dạn nêu vài ý kiến chủ quan, xuất phát từ sự phân tích trên đây về quan hệ giữa toán học phổ thông và toán học hiện đại.

4. Dạy theo Bourbaki hay theo các bà nội trợ?
Đã một thời, những bài tập ở phổ thông thường mô phỏng loại toán của các bà nội trợ: một người đi chợ mang theo 100 đồng, dùng hết số tiền đó và mua được 36 con vừa gà vừa chó. Giá mỗi con chó là 4 đồng, giá mỗi con gà là 2 đồng. Hỏi người đó mua mấy con gà, mấy con chó? Thật là một bài toán xa thực tế, vì chẳng mấy ai mua bán như vậy. Dĩ nhiên, cũng có thể đặt những bài toán có vẻ thực tế hơn, nhưng dù sao, vẫn là “loại toán của các bà nội trợ”. Đó là lí do mà trong những năm gần đây, người ta có xu hướng đưa vào chương trình toán những vấn đề có vẻ gần “thực tiễn” hơn. Xu hướng này đặc biệt phổ biến ở Mỹ. Kết quả của phương pháp giảng dạy này còn phải tranh cãi nhiều, nhưng tưởng cũng cần nhắc lại câu của nhà thơ Maiacôpxki khi nói về sự cách tân trong thơ Nga: “ Người đầu tiên phát minh ra 2+2=4 là một nhà toán học vĩ đại, dù anh ta phát minh ra điều đó nhờ việc cộng 2 điếu thuốc lá với 2 điếu thuốc lá. Còn người sau đó phát hiện ra 2 cái đầu tàu hoả cộng 2 đầu tàu hoả bằng 4 đầu tàu hoả thì đã không còn là nhà toán học nữa!” Như vậy, ngay nhà thơ vĩ đại cũng thấy rằng, điều quan trọng ở đây là cấu trúc chứ không phải bản thân các đối tượng đề cập đến trong bài toán. Những người phản đối phương pháp dạy mới ở Mỹ cho rằng, người ta đang dạy cho học sinh thứ toán học “đầu tàu”, và tưởng nhầm là hay hơn toán học của các bà nội trợ.

Nhưng, cũng tồn tại khá phổ biến quan niệm ngược lại. Sự chú ý đặc biệt đến việc cho học sinh làm quen dần với các cấu trúc đại số đã dẫn đến quan niệm về giảng dạy theo “tinh thần Bourbaki”. Trong vài thập kỉ gần đây, quan niệm này gây sự chú ý rộng rãi trong cộng đồng các nhà nghiên cứu và giảng dạy toán học. Những ngưòi ủng hộ quan niệm đó đã có công rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tư duy trưù tượng, đặc biệt là tránh một số sai lầm do trực giác gây ra. Tuy nhiên, việc đưa vào chương trình phổ thông những khái niệm trừu tượng theo kiểu tiên đề cũng không tranh khỏi gây nhiều tranh cãi. Thứ nhất, không ít người đã đồng nhất “trừu tượng” và “hiện đại”. Họ cho rằng, những gì hiện đại thì phải trừu tượng, và ngược lại. Thực ra, một vài ví dụ nhỏ trong bài này đã phần nào cho thấy sự phát triển hiện đại của toán học nằm trong nhu cầu nội tại của toán học và trong nhu cầu của thực tiễn, và một thành tựu, một lĩnh vực được xem là hiện đại hay không khi nó đáp ứng đến mức độ nào các nhu cầu đó, chứ tuyệt nhiên không phải ở mức độ trừu tượng của nó. Thực ra, trong nghiên cứu, các nhà toán học chỉ dùng trừu tượng ở mức độ “tối thiểu cần thiết”. Qua việc chỉ ra một số thành tựu hiện đại nhất của toán học mà một học sinh phổ thông có thể hiểu được, chúng ta cũng thấy rằng, có thể làm cho học sinh phổ thông hiểu toán học hiện đại là gì, mà không đòi hỏi phải viện đến các khái niệm trừu tượng. Vả lại, một khi học sinh chưa được trang bị đủ “mô hình” cần thiết thì việc tiếp thu các khái niệm trừu tượng thường mang nặng ý nghĩa hình thức. Điều này dễ dần đến việc hiểu sai bản chất của toán học. Nói cho cùng, toán học là sản phẩm của thực tiễn, và nó thực sự dễ hiểu khi ta mô tả nó một cách giản dị và cụ thể.

Tóm lại, mục tiêu của chúng ta là, một mặt, trang bị cho học sinh những kiến thức toán học cần thiết, và những kiến thức đó càng gần với thực tiễn bao nhiều thì càng tốt bấy nhiêu, mặt khác, làm cho học sinh hiểu được bản chất của toán học và say mê học toán. Muốn vậy, không thể chỉ dạy cho học sinh “toán học phổ thông”, bởi lẽ không có một hàng rào nào ngăn cách toán học phổ thông với toán học hiện đại. Chỉ có điều, cần hiểu đúng thế nào là hiện đại, để tránh “trừu tượng hoá” chương trình toán một cách không cần thiết. Đằng sau mỗi bài toán của các bà nội trợ đều ẩn náu một phát minh vĩ đại của toán học hiện đại. Song, đối với người thầy, làm cho học sinh hiểu được điều đó quả là một nhiệm vụ cực kì khó khăn!