Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $(a+b+c)\left(\frac 1{a}+\frac 1{b}+\frac 1{c}\right)=10,$ thì
$(a) \ \ \ \frac {19}{12}\le \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\le \frac 5{3};$
$(b) \ \ \ \frac {69}{40}\le \frac {a^2}{b^2+c^2}+\frac {b^2}{c^2+a^2}+\frac {c^2}{a^2+b^2}\le \frac {12}{5}.$

By Vasc

[ductai199x]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $(a+b+c)\left(\frac 1{a}+\frac 1{b}+\frac 1{c}\right)=10,$ thì
$(a) \ \ \ \frac {19}{12}\le \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\le \frac 5{3};$
$(b) \ \ \ \frac {69}{40}\le \frac {a^2}{b^2+c^2}+\frac {b^2}{c^2+a^2}+\frac {c^2}{a^2+b^2}\le \frac {12}{5}.$

By Vasc

Mình xin được giải bài của bạn như sau:

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này, tiện thể cung cấp thêm 1 bđt mới:

Giả thiết: a và b thuộc tập [1,2]:
$(a+b+c)(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}) \le 10$ (*)

Giải:

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$

= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)

Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$

=>$(a - b)(b - c) \ge 0$

<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)

Chia 2 vế của (***) cho bc: $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)

Chia 2 vế của (***) cho ab: $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)

Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)

Do giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$

=> $\frac c{a} - 2 \le 0$ và $\frac c{a} - \frac 1{2} \ge 0$

=> $(\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$

<=>$(\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$

<=>$\frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$

<=>$\frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$. Thay vào (3), ta có:

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ => (**) đúng => (*) đúng

Dấu "=" xảy ra <=> khi $\frac c{a} = 2$ => c = 2; a = 1 (b = 1 hoặc b = 2)

Tức dấu "=" xảy ra: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1; b = c = 2 và các hoán vị.

Vậy thay vào các câu a và b, ta có điều phải chứng minh.

Tiện thể, mình có bài này cho bạn:

Giả thiết:

Cho a, b, c ∈ [1,2]. Chứng minh:

$(a + b + c)(\frac 1{a} + \frac 1{b} + \frac 1{c}) \le \frac {81}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 10-02-2012 - 00:19

[dark templar]

Vậy thay vào các câu a và b, ta có điều phải chứng minh.

Mình chỉ thắc mắc ý nghĩa cảu câu này của bạn ? Đúng là với $a,b,c \in [1;2]$ thì $(a+b+c) \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \le 10$ nhưng nó không có nghĩa là từ $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=10$,ta sẽ suy ra được $a,b,c \in [1;2]$
Bài này có lẽ giải giống bài này,nhưng phức tạp hơn
http://diendantoanho...81

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-02-2012 - 22:06