Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Cho các số thực dương $a,b$ và $c$ sao cho $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\le \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}.$$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
BĐT cần chứng minh được viết lại thành

$\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right) \geq a+b+c-\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

hay $\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right) \geq \dfrac{12abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

BĐT này đúng vì $\sum \left(a-\dfrac{a}{1+(b+c)^2}\right)$

$ \geq \sum \left(a-\dfrac{a}{1+4bc}\right) = \sum \dfrac{4abc}{1+4bc}$

$=4abc \sum \dfrac{a^2}{a^2+4a^2bc}$

$\geq 4abc \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+4abc(a+b+c)}$

$=\dfrac{12abc(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

Vậy BĐT đã được chứng minh.

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\sum_{cyc}(\frac{a}{1+(b+c)^2}-a)\leqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}-3 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\geqslant \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $\sum_{cyc}\frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a+\frac{a}{(b+c)^2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}}=\frac{36abc}{4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})}$

Đến đây, ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant 4abc(3+\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow  a^2+b^2+c^2\geqslant 4abc(\sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{a}{bc}-\frac{4a}{(b+c)^2})\geqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b-c)^2}{bc(b+c)^2}\geqslant 0$ *Đúng*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 11:18

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh