Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm $max$ của: $M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 12-02-2012 - 08:39

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 12-02-2012 - 09:13

Hình đã gửi


#2 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 12-02-2012 - 14:43

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$


Mình xin phép được giải bài này:

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2bc +\frac{1}{bc}}$ ($b^2+c^2 \ge 2bc$ - BĐT Cô Si và $a=\frac{1}{bc}$)

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2bc\frac{1}{bc}}}$

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2}}$ (1)

Tương tự:

$\frac{b}{c^2+a^2+b} \leq \frac{b}{2\sqrt{2}}$ (2)

$\frac{c}{a^2+b^2+c} \leq \frac{c}{2\sqrt{2}}$ (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

$M \leq \frac{a+b+c}{\sqrt{8}}$ (*)

Mình xin lỗi ở đây, mình nghĩ rằng đề bài bạn cho thiếu vì:

Giả sử: $a = x; b = \frac{1}{x}; c = 1 \rightarrow abc = 1 \rightarrow a+b+c = \frac{x^2+x+1}{x}$. Vì $x \in R, x > 0$ nên $x$ càng lớn thì $a+b+c$ càng lớn $\rightarrow$ thay vào (*) $\rightarrow$ không tìm được max M. Bạn nên xem xét lại đề bài, có thể là thiếu $a+b+c = y (y \in R, y > 0)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 12-02-2012 - 14:46


#3 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-02-2012 - 15:35

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2bc\frac{1}{bc}}}$

dấu = khi 2bc = $\frac{1}{bc}!!!!!!$
nhưng ở trên bạn sử dụng cosi thì phải là a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-02-2012 - 17:37

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#4 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 21-02-2012 - 23:51

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

Mình xin thực hành kiến thức ôn luyện với bài này luôn :
$$3 - M = \dfrac{b^2 + c^2}{b^2 + c^2 + a} + \dfrac{c^2 + a^2}{a^2 + c^2 + b} + \dfrac{a^2 + b^2}{b^2 + a^2 + c} $$
Xét $$N = \dfrac{c^2}{b^2 + c^2 + a} + \dfrac{a^2}{a^2 + c^2 + b} + \dfrac{b^2}{a^2 + b^2 + c} $$ $$= \dfrac{c^4}{c^4 + b^2c^2 + ac^2} + \dfrac{a^4}{a^4 + c^2a^2 + ba^2} + \dfrac{b^4}{b^4 + a^2b^2 + cb^2} \ge \dfrac{(\sum{a^2})^2}{\sum{a^4} + \sum{a^2c^2} + \sum{a^2b}}$$
Ta sẽ chứng minh $$a^2b + b^2c + c^2a \le a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$$
Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$
BĐT cần cm $$\Leftrightarrow x^4y^2 + y^4z^2 + z^4x^2 \ge x^4yz + y^4xz + z^4xy$$
Đúng theo định lí nhóm. Do đó $ N \ge \dfrac{(\sum{a^2})^2}{\sum{a^4} + 2\sum{a^2b^2}} = 1$
Tương tự, với nửa còn lại. Suy ra $3 - M \ge 2 \Leftrightarrow M \le 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-02-2012 - 21:42

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#5 huyentrang97

huyentrang97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Điểm tựa niềm tin

Đã gửi 24-02-2012 - 20:41

BĐT cần cm

x4y2+y4z2+z4x2x4yz+y4xz+z4xy


Đúng theo định lí nhóm. Do đó N(a2)2a4+2a2b2=1

Định lí nhóm là gì vậy anh?
Chính vị trí cánh buồm chứ không phải hướng gió sẽ quyết định chúng ta đi đến đâu.

#6 sherlock holmes 1997

sherlock holmes 1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:???
  • Sở thích:chess ,football

Đã gửi 04-03-2012 - 18:46

Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$ suy ra xyz=1,x,y,z>0
Khi đó $M=\frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{6}+z^{6}+y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}$
Ta có :$(x-y)(x^{5}-y^{5})\geq 0$ với mọi x,y>0
suy ra :$x^{6}+y^{6}\geq x^{5}y+y^{5}x\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+xyz^{4}\geq xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})\Leftrightarrow \frac{1}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{1}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}\Leftrightarrow \frac{xyz^{4}}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{xyz^{4}}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}\Leftrightarrow \frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}\leq \frac{z^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$(do xyz=1)
Chứng minh tương tự rồi cộng từng vế với vế ta có $M\leq 1$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
When you have eliminated the impossible whatever remains, however improbable, must be the truth
__________SHERLOCK HOLMES____________

#7 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 05-03-2012 - 12:09

Viết LATEX dài quá, mình chỉnh sửa lại cho:
______________________________________________________________________________
Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$ suy ra xyz=1,x,y,z>0
Khi đó $M=\frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{6}+z^{6}+y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}$
Ta có :$(x-y)(x^{5}-y^{5})\geq 0$ với mọi x,y>0
suy ra :$x^{6}+y^{6}\geq x^{5}y+y^{5}x$
$\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+xyz^{4}\geq xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{1}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$
$\Leftrightarrow \frac{xyz^{4}}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{xyz^{4}}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$
$\Leftrightarrow \frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}\leq \frac{z^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ (do xyz=1)
Chứng minh tương tự ta có:
$\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{6}+z^{6}}\leq \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
$\Leftrightarrow \frac{y^{3}}{x^{6}+y^{3}+z^{6}}\leq \frac{y^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
$\Rightarrow M \leq \frac{x^4+y^4+z^4}{x^4+y^4+z^4}=1$
$\Rightarrow $ $M_{max} = 1$ $\Leftrightarrow a=b=c=1$
_________________________________________________________________
Thế cho gọn

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh