Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $max$ của: $M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 12-02-2012 - 09:13

Hình đã gửi


#2
ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$


Mình xin phép được giải bài này:

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2bc +\frac{1}{bc}}$ ($b^2+c^2 \ge 2bc$ - BĐT Cô Si và $a=\frac{1}{bc}$)

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2bc\frac{1}{bc}}}$

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2}}$ (1)

Tương tự:

$\frac{b}{c^2+a^2+b} \leq \frac{b}{2\sqrt{2}}$ (2)

$\frac{c}{a^2+b^2+c} \leq \frac{c}{2\sqrt{2}}$ (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

$M \leq \frac{a+b+c}{\sqrt{8}}$ (*)

Mình xin lỗi ở đây, mình nghĩ rằng đề bài bạn cho thiếu vì:

Giả sử: $a = x; b = \frac{1}{x}; c = 1 \rightarrow abc = 1 \rightarrow a+b+c = \frac{x^2+x+1}{x}$. Vì $x \in R, x > 0$ nên $x$ càng lớn thì $a+b+c$ càng lớn $\rightarrow$ thay vào (*) $\rightarrow$ không tìm được max M. Bạn nên xem xét lại đề bài, có thể là thiếu $a+b+c = y (y \in R, y > 0)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 12-02-2012 - 14:46


#3
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2bc\frac{1}{bc}}}$

dấu = khi 2bc = $\frac{1}{bc}!!!!!!$
nhưng ở trên bạn sử dụng cosi thì phải là a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-02-2012 - 17:37

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#4
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$

Mình xin thực hành kiến thức ôn luyện với bài này luôn :
$$3 - M = \dfrac{b^2 + c^2}{b^2 + c^2 + a} + \dfrac{c^2 + a^2}{a^2 + c^2 + b} + \dfrac{a^2 + b^2}{b^2 + a^2 + c} $$
Xét $$N = \dfrac{c^2}{b^2 + c^2 + a} + \dfrac{a^2}{a^2 + c^2 + b} + \dfrac{b^2}{a^2 + b^2 + c} $$ $$= \dfrac{c^4}{c^4 + b^2c^2 + ac^2} + \dfrac{a^4}{a^4 + c^2a^2 + ba^2} + \dfrac{b^4}{b^4 + a^2b^2 + cb^2} \ge \dfrac{(\sum{a^2})^2}{\sum{a^4} + \sum{a^2c^2} + \sum{a^2b}}$$
Ta sẽ chứng minh $$a^2b + b^2c + c^2a \le a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$$
Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$
BĐT cần cm $$\Leftrightarrow x^4y^2 + y^4z^2 + z^4x^2 \ge x^4yz + y^4xz + z^4xy$$
Đúng theo định lí nhóm. Do đó $ N \ge \dfrac{(\sum{a^2})^2}{\sum{a^4} + 2\sum{a^2b^2}} = 1$
Tương tự, với nửa còn lại. Suy ra $3 - M \ge 2 \Leftrightarrow M \le 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-02-2012 - 21:42

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#5
huyentrang97

huyentrang97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết

BĐT cần cm

x4y2+y4z2+z4x2x4yz+y4xz+z4xy


Đúng theo định lí nhóm. Do đó N(a2)2a4+2a2b2=1

Định lí nhóm là gì vậy anh?
Chính vị trí cánh buồm chứ không phải hướng gió sẽ quyết định chúng ta đi đến đâu.

#6
sherlock holmes 1997

sherlock holmes 1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$ suy ra xyz=1,x,y,z>0
Khi đó $M=\frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{6}+z^{6}+y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}$
Ta có :$(x-y)(x^{5}-y^{5})\geq 0$ với mọi x,y>0
suy ra :$x^{6}+y^{6}\geq x^{5}y+y^{5}x\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+xyz^{4}\geq xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})\Leftrightarrow \frac{1}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{1}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}\Leftrightarrow \frac{xyz^{4}}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{xyz^{4}}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}\Leftrightarrow \frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}\leq \frac{z^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$(do xyz=1)
Chứng minh tương tự rồi cộng từng vế với vế ta có $M\leq 1$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
When you have eliminated the impossible whatever remains, however improbable, must be the truth
__________SHERLOCK HOLMES____________

#7
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Viết LATEX dài quá, mình chỉnh sửa lại cho:
______________________________________________________________________________
Đặt $a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt[3]{y};c=\sqrt[3]{z}$ suy ra xyz=1,x,y,z>0
Khi đó $M=\frac{x^{3}}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{6}+z^{6}+y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}$
Ta có :$(x-y)(x^{5}-y^{5})\geq 0$ với mọi x,y>0
suy ra :$x^{6}+y^{6}\geq x^{5}y+y^{5}x$
$\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}+xyz^{4}\geq xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{1}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$
$\Leftrightarrow \frac{xyz^{4}}{x^{6}+y^{6}+xyz^{4}}\leq \frac{xyz^{4}}{xy(x^{4}+y^{4}+z^{4})}$
$\Leftrightarrow \frac{z^{3}}{x^{6}+y^{6}+z^{3}}\leq \frac{z^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ (do xyz=1)
Chứng minh tương tự ta có:
$\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{x^{3}+y^{6}+z^{6}}\leq \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
$\Leftrightarrow \frac{y^{3}}{x^{6}+y^{3}+z^{6}}\leq \frac{y^{4}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
$\Rightarrow M \leq \frac{x^4+y^4+z^4}{x^4+y^4+z^4}=1$
$\Rightarrow $ $M_{max} = 1$ $\Leftrightarrow a=b=c=1$
_________________________________________________________________
Thế cho gọn

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh