Câu 1:
Cho tam giác $ABC$, các tiếp tuyến tại đỉnh $A$ của đường tròn ngoại tiếp cắt $BC$ tại $P$. Gọi $P, Q$ lần lượt là điểm đối xứng của $P$ qua các $AB, AC$. Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với $QR$.
Câu 2:
Tìm tất cả các hàm số: $ f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ thỏa mãn điều kiện:
$$f\left( {f(x + y)f(x - y)} \right) = x^2 - yf(y),\forall x,y \in \mathbb{R} $$.
Câu 3:
Cho $p$ là nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số nguyên $x$, nếu $x^n-1$ chia hết cho $p$ thì $x^n-1$ cũng chia hết cho $p^2$.
Câu 4:
Cho hai hình tam giác $PAB$ và $PCD$ sao cho $ PA=PB,\ PC=PD$, $P, A, C $ và $P, B, D$ tương ứng thẳng hàng theo thứ tự.
Đường tròn $S_1$ đi qua $A, C$ cắt đường tròn $S_2$ đi qua $B, D$ tại hai điểm $X, Y$ phân biệt.
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PXY$ là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm các đường tròn $S_1, S_2$
Câu 5.
Cho một quân cờ nằm tại gốc tọa độ trên mặt phẳng tọa độ, hai người $A, B$ chơi 1 trò chơi như sau:
Đầu tiên, $A$ đánh dấu vào một điểm trên lưới tọa độ, khác với điểm đang đặt quân cờ.
Sau đó $B$ di chuyển quân cờ từ điểm $(x,y)$ đến điểm $(x+1;y)$ hoặc $(x;y+1)$ $m$ lần $(1 \leq m \leq k)$ nhưng không được di chuyển quân cờ đến các điểm đánh dấu.
$A$ chiến thắng nếu $B$ không còn di chuyển được quân cờ. Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho $A$ có thể chiến thắng sau một số hữu hạn lượt đi bất kể $B$ di chuyển quân cờ như thế nào.
Nguồn: AoPS
Dịch: Hoàng Ngọc Thế
img src=
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 12-02-2012 - 14:33
