ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC THỰC HÀNH - ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
Năm học 2005-2006
Bài 1:a) Không dùng máy tính hãy so sánh $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$ và $y=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}$
b) Giải phương trình sau $\sqrt{1-x}-\sqrt{x+2}=1$
Bài 2: Cho phương trính$x^2-2(m+4)x+m^2-8=0$
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Hãy lập 1 biểu thức độc lập liên hệ giữa $x_1$; $x_2$ không phụ thuộc vào m
c) Với giá trị nào của m, biểu thứ $A=x_1x_2-x_1^2-x_2^2$ đạt GTLN. Tìm GTLN đó
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có giá trị biểu thức $E=n^3+5n$ luôn là bội của 6
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O' đường kính AC cắt nhau tại A và D.
a) Chứng minh rằng 3 điểm B,C,D thẳng hàng
b) GỌi M' là điểm chính giữa cung nhỏ CD. AM cắt BC tại E và cắt đường tròn tâm O tại N. Chứng minh tam giác ABE cân
c) Gọi K là trung điểm đoạn thẳng MN. Chứng minh OK vuông góc O'K
d) Đặt BC=a; AB=b; AC=c. Điểm P di động trên nữa đường tròn đường kính CB không chưa A (P khác B,C). Gọi Q,R,S lần lượt là hình chiếu của P lên đường thẳng BC,CA,AB. Đặt PQ=x, PR=y; PS=z. Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$ đạt GTNN
Câu 5:
Cho a,b là các số thực dương thoả mãn$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{2}$.
Tìm GTNN của biểu thức $K=a+b$