Chủ đề này có 2 trả lời

[banhbaocua1]

Bài 1: CMR với mọi N nguyên dương:
$2^{3n}+1\vdots 3^{n}$
Bài 2:CMR: với mọi N thuộc N*, n>1:
$n^{n}+5n^{2}-11n+5 \vdots (n-1)^{2}$
Bài 3: Cho pt $x^{2}-m(n+1)x+m+n+1=0$ có 2 nghiệm tự nhiên với m,n tự nhiên
CMR: m.n $\leq$ 4
Bài 4: Tìm x,y nguyên:
$(x+2)^{4}-x^{4}=y^{3}$

[perfectstrong]

Bài 1:
Mình nghĩ là $3|2^{3n}+1$ với $n$ tự nhiên lẻ thì mới đúng. Sử dụng kết quả sau:
Với $n$ tự nhiên lẻ thì $a^n+b^n \vdots a+b$.
Bài 2:
Dùng quy nạp và kết quả sau: $a^n-b^n \vdots a-b$, dễ chứng minh $n^n-1 \vdots (n-1)^2$.
\[{n^n} + 5{n^2} - 11n + 5 = 5{\left( {n - 1} \right)^2} + {n^n} - n \vdots {\left( {n - 1} \right)^2}\]

[nguyenta98]

Bài 1: CMR với mọi N nguyên dương:
$2^{3n}+1\vdots 3^{n}$
Bài 2:CMR: với mọi N thuộc N*, n>1:
$n^{n}+5n^{2}-11n+5 \vdots (n-1)^{2}$
Bài 3: Cho pt $x^{2}-m(n+1)x+m+n+1=0$ có 2 nghiệm tự nhiên với m,n tự nhiên
CMR: m.n $\leq$ 4
Bài 4: Tìm x,y nguyên:
$(x+2)^{4}-x^{4}=y^{3}$

Bài 3: Gọi 2 nghiệm là $x_1,x_2$ giả sử $x_1>x_2$
Theo định lý viète ta có $x_1+x_2=m(n+1)$ và $x_1x_2=m+n+1$
TH1: $x_1x_2\le x_1+x_2 \rightarrow x_2=1 \rightarrow x_1.x_2+1=x_1+x_2 \rightarrow m+n+2=m(n+1) \rightarrow (m-1)n=2 \rightarrow (m,n)=(3,1),(2,2) \rightarrow mn\le 4 \rightarrow Q.E.D$
TH2: $x_1x_2>x_1+x_2 \rightarrow m+n+1>m(n+1) \rightarrow m+n+1>mn+m \rightarrow n+1>mn$
Nếu $n=0 \rightarrow mn=0 <4 $ xong
Nếu $n=1 \rightarrow 1+1>m \rightarrow m=0,1$ xong
Nếu $n>1 \rightarrow 2n>n+1>mn \rightarrow 2>m \rightarrow m=0,1$
Th1 nhỏ $m=0 \rightarrow mn=0 <4$ xong
Th2 nhỏ $m=1$ trở lại pt $x^2-(n+1)x+n+2$
Thấy để có nghiệm nguyên thì delta chính phương hay $(n+1)^2-4(n+2)=k^2 \leftrightarrow (n-1-k)(n-1+k)=8 \rightarrow n=4 \rightarrow mn=4 Q.E.D$
Tóm lại bài toán được giải hoàn toàn

Bài 4 Gợi ý
Khai triển $VT$ được $8x^3+24x^2+32x+16=y^3$
Dùng kẹp giữa 2 số lập phương liên tiếp là ổn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 13-02-2012 - 12:45