Chủ đề này có 1 trả lời

[Mai Duc Khai]

Cho $x,y \in R$ thỏa mãn:$2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = xy + 1$
CM:\[\frac{8}{{17}} \le 2\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + 12{x^2}{y^2} \le \frac{{16}}{9}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 12-02-2012 - 21:07

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải (Biến đổi tương đương)
Ta có:
$xy + 1 = 2(x^2 + y^2) \geq 4xy\Leftrightarrow xy \leq \dfrac{1}{3}$
Bình phương hai vế của giả thiết ban đầu, ta được:
$4(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = x^2y^2 + 2xy + 1$

$\Leftrightarrow -7x^2y^2 + 2xy + 1 = 4(x^4 + y^4) \geq 8x^2y^2 \Leftrightarrow 15x^2y^2 - 2xy - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow (5xy + 1)(3xy - 1) \leq 0 \Rightarrow \dfrac{-1}{5} \leq xy \leq {1}{3}$

Ta có: $S = 2(x^4 + y^4) + 12x^2y^2 = \dfrac{-7x^2y^2 + 2xy + 1}{2} + 12x^2y^2 = \dfrac{17x^2y^2 + 2xy + 1}{2}$

$= \dfrac{17^2x^2y^2 + 2.17.xy + 1 + 16}{2.17} = \dfrac{(17xy + 1)^2 + 16}{2.17} \geq{8}{17}$
Dấu "=" xảy ra khi $xy = \frac{-1}{17}$. Bạn thế vào giả thiết rồi dùng Viets giải ra nghiệm.

Ta cần CM: $S = \dfrac{17x^2y^2 + 2xy + 1}{2} \leq \dfrac{16}{9}$

$\Leftrightarrow 153x^2y^2 + 18xy + 9 \leq 32 \Leftrightarrow (51xy + 23)(3xy - 1) \leq 0$

Do $xy \leq \dfrac{1}{3}$ và $xy \geq \dfrac{-1}{5} > \dfrac{-23}{51}$ nên BĐT cần chứng minh đúng.
Dấu "=" xảy ra khi $xy = \dfrac{1}{3}$. Tương tự, thế vào giả thiết rồi giải ra nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 12-02-2012 - 22:25