Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-02-2012 - 22:33

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 14-02-2012 - 00:00

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

Giải như sau:
Gọi số đó là $\overline{A2008} \rightarrow A.10^4+1 \equiv 0 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006 \pmod{2007}$
Giờ ta đi tìm số $k$ sao cho $1972|2006+2007k$ với $k<2007$
Thấy $1972=4.17.23 \rightarrow k \equiv 2 \pmod{4}$ <1>
Thấy $17|2006 \rightarrow 17|k$ <*>
Từ <1> và <*> suy ra $k=68q+34$ <2>
Lại thấy $2006 \equiv 5 \pmod{29} \rightarrow 2007k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow 6k \equiv 24 \pmod{29} \rightarrow k \equiv 4 \pmod{29}$ <3>
Từ <2> đặt $q=29t+r$ ($r<23$)
Từ <3> suy ra $68q+34 \equiv 3 \pmod{29} \rightarrow 1972t+68r+34 \equiv 4 \pmod{29} \rightarrow 29|68r+30 \rightarrow 23|10r+1 \rightarrow r=26$ (chú ý $r<29$)
Tóm lại $q=29t+26 \rightarrow k=68q+34=1564t+1802$
Thấy $k=1802$ bé nhất (cho $t=0$)
Trở lại bài toán $1972a\equiv 2006 \pmod{2007} \rightarrow 1972A \equiv 2006+2007.1802 \pmod{2007} \rightarrow A \equiv 1835 \pmod{2007}$
Để $\overline{A2008}$ min chọn $A=1835$
Do đó số cần tìm là $18352008$
Thử lại $18352008=1007.9144$ đúng
Đáp số $\boxed{18352008}$

P/S đừng thấy ngắn mà tưởng dễ nhé để có những con số và phương pháp tìm $k$ như trên là quá trình suy nghĩ dài dài! :icon6: :closedeyes: :namtay :ukliam2:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-02-2012 - 00:01


#3 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 14-02-2012 - 06:06

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tận cùng là 2008 mà chia hết cho 2007?

Bài này vùa thj CAsio Vĩnh Phúc hôm nọ nhg thay 2008 , 2007 bằng 2012 , 2011




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh