Cho x,y,z>0 t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$
CMR: xy+yz+xz+9$\geq$4(x+y+z)
Cho x,y,z>0 t/m:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$ CMR:$xy+yz+xz+9>=4(x+y+z)$
Bắt đầu bởi huyentrang97, 14-02-2012 - 20:18
#1
Đã gửi 14-02-2012 - 20:18
huyentrang97
-
- Thành viên
-
- 82 Bài viết
Hạ sĩ
Chính vị trí cánh buồm chứ không phải hướng gió sẽ quyết định chúng ta đi đến đâu.
#2
Đã gửi 14-02-2012 - 21:21
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Cho x, y, z > 0 t/m: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$
CMR: $xy+yz+xz+9 \geq 4(x+y+z)$
Áp dụng BĐT Côsi (AM - GM) cho 4 số thực dương xy, yz, zx và 9, ta có:
$xy + yz + zx + 9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4\sqrt{3xyz} = 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}$
(Chú ý giả thiết: $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$)
Lại có: $3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2$
(Bạn có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Do đó: $VT \geq 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)} \geq 4.|x + y + z| = 4(x + y + z) (x, y, z > 0)$
Vậy, BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi : x = y = z = 3
CMR: $xy+yz+xz+9 \geq 4(x+y+z)$
Giải
Áp dụng BĐT Côsi (AM - GM) cho 4 số thực dương xy, yz, zx và 9, ta có:
$xy + yz + zx + 9 \geq 4\sqrt[4]{9x^2y^2z^2} = 4\sqrt{3xyz} = 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)}$
(Chú ý giả thiết: $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$)
Lại có: $3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x + y + z)^2$
(Bạn có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Do đó: $VT \geq 4\sqrt{3(x^2 + y^2 + z^2)} \geq 4.|x + y + z| = 4(x + y + z) (x, y, z > 0)$
Vậy, BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi : x = y = z = 3
- perfectstrong, PRONOOBCHICKENHANDSOME, le_hoang1995 và 5 người khác yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
