Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng ming rằng: $$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 saomayman

saomayman

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 15-02-2012 - 15:33

Cho 3 số dương a, b, c thỏa a2+b2+c2=1. Chứng ming rằng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$
(Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 Trần Đại Nghĩa - thi ngày 11/2/2012)
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 15-02-2012 - 17:19
title fixed


#2 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 15-02-2012 - 21:35

Cho 3 số dương a, b, c thỏa a2+b2+c2=1. Chứng ming rằng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$
(Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 Trần Đại Nghĩa - thi ngày 11/2/2012)
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán


Mình xin trả lời bài của bạn nhé:

Trong bài này, ta sử dụng 2 BĐT sau:

1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$ (1)

2. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (2)

Để chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$ (*)

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geq \frac{-9}{2}$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3}$ (Sử dụng BĐT (1))

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{9}{-2}$ (Sử dụng BĐT (2))

Vậy $\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{-9}{2}$ (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c, a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 15-02-2012 - 21:39


#3 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 15-02-2012 - 22:08

Mình xin trả lời bài của bạn nhé:

Trong bài này, ta sử dụng 2 BĐT sau:

1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$ (1)

2. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (2)

Để chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$ (*)

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geq \frac{-9}{2}$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3}$ (Sử dụng BĐT (1))

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{9}{-2}$ (Sử dụng BĐT (2))

Vậy $\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{-9}{2}$ (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c, a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Chỗ tô đỏ em nên xem lại, vì điều kiện để áp dụng bđt phụ này là $x, y, z > 0$ mà ($ab, bc, ca$ không thể đồng thời > 1 được)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-02-2012 - 11:11

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#4 luutham

luutham

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 16-02-2012 - 22:08

Vẫn chưa có ai giải gúp bài này !!!!!! ?????

#5 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 16-02-2012 - 22:50

Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur

___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-02-2012 - 22:56


#6 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 17-02-2012 - 03:35

Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur

___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.


Sau 1 ngày tìm tòi thì mình ra bài này rồi đây, các bạn xem lời giải nhé!!!!!!!!!

Bài này mình chỉ dùng Cô-Si và Cô-si-Schwarz thôi nhé :)

BĐT sau: $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ - Cauchy Schwarz in Engel Form

$\frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$

Ta có:

$\frac{ab}{1-ab} = \frac{2ab}{2(a^2+b^2+c^2)-2ab} \le \frac{2ab}{(2a^2+2b^2+2c^2)-(a^2+b^2)}$

$\frac{ab}{1-ab} \le \frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2}$

$\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} = \frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$ (1)

Tương tự, ta có:

$\frac{bc}{1-bc} \le \frac{1}{2}(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2})$ (2)

$\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2})$ (3)

Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) vào, ta có:

$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}$

$(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca})-(\frac{ab-1}{ab-1}+\frac{bc-1}{bc-1}+\frac{ca-1}{ca-1})$

$=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} - 3 \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$ (Điều phải chứng minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$a = b = c, a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hoặc $a = b = c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 17-02-2012 - 03:50


#7 saomayman

saomayman

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 17-02-2012 - 08:15

Cảm ơn ductai199x
Vất vả cho bạn quá, thức đến 3h sáng để giải
Sáng naycũng có bạn khác gửi lời giải cho mình,
về cơ bản thì cũng giống cách của bạn.
Hôm nay đi học đừng ngủ gật nhé! - cảm ơn nhiều

#8 Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 323 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thái Hoà

Đã gửi 17-02-2012 - 17:26

Mình tưởng Bđt BCS dạng Engel thì mẫu phải là số dương chứ , nếu đc mình giải lại 1 cách chuẩn như sau :
Có :
$Q.E.D \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{1-ab}\leq \dfrac{3}{2}$(trừ 2 vế cho 3 )
Thật vậy , ta có :
$\dfrac{ab}{1-ab}=\dfrac{2ab}{(1+c^2)+(a-b)^2}\leq \dfrac{1}{2}\dfrac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}\overset {Engel}{\le}\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2} \right )$
Lập các bđt tương tự , cộng vế với vế $\Rightarrow \sum \dfrac {ab}{1-ab} \le...= \dfrac {3}{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$
(Ngu�#8220;n : Những Viên Kim Cương Trong BĐT Toán Học )

giải rồi mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HVADN: 17-02-2012 - 17:27

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#9 luutham

luutham

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 17-02-2012 - 20:33

Bài này đã đăng ở đây từ năm 2009
http://diendantoanho...showtopic=44666\

(Bài 16)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luutham: 17-02-2012 - 20:35





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh