Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang phuc nguyen: 15-02-2012 - 22:24
$x+y$ có chính phương không?
#1
Đã gửi 15-02-2012 - 22:23
#2
Đã gửi 15-02-2012 - 22:44
Cho x,y,zthuoc N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn 1/x+1/y=1/z. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?
Mình xin giải bài này nhé:
Ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
$xz+yz = xy$
$(x-z)(y-z) = z^2$
Đặt $z^2 \vdots d^2 \Rightarrow z \vdots d$
Do đó: $(x-z)(y-z) \vdots d^2 \Rightarrow (x-z) \vdots d$ mà $z \vdots d$ nên $x \vdots d$. Tương tự, $y \vdots d$ Mà $(x,y) = 1$. Suy ra $d=1$.
Vậy nếu $x-z = a^2, y-z = b^2 \Rightarrow a^2b^2=z^2 \Rightarrow ab = z$
$\Rightarrow x+y = (x-z)+(y-z)+2z = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
Từ đó, ta kết luận x+y là số chính phương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 21-02-2012 - 22:29
- perfectstrong, nguyenta98 và khenknhauahh thích
#3
Đã gửi 16-02-2012 - 11:43
#4
Đã gửi 16-02-2012 - 11:51
$ab=z$ chứ sao = xMình xin giải bài này nhé:
Ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
$xz+yz = xy$
$(x-z)(y-z) = z^2$
Đặt $z^2 \vdots d^2 \Rightarrow z \vdots d$
Do đó: $(x-z)(y-z) \vdots d^2 \Rightarrow (x-z) \vdots d$ mà $z \vdots d$ nên $x \vdots d$. Tương tự, $y \vdots d$ Mà $(x,y) = 1$. Suy ra $d=1$.
Vậy nếu $x-z = a^2, y-z = b^2 \Rightarrow a^2b^2=x^2 \Rightarrow ab = x$
$\Rightarrow x+y = (x-z)+(y-z)+2z = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
Từ đó, ta kết luận x+y là số chính phương
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#5
Đã gửi 16-02-2012 - 12:49
MOD: Vui lòng gõ tiếng Việt có dấu. Còn tái phạm sẽ xóa không báo trước.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang phuc nguyen: 16-02-2012 - 13:59
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh