$x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $
#1
Đã gửi 16-02-2012 - 22:40
Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$
#2
Đã gửi 28-05-2013 - 16:36
Cho $x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $
Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{1}{x+1} \le \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) \le \dfrac{1}{x}$
Áp dụng ta có
$-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n}$
Do hàm $f(x) = e^x$ tăng trên $ \mathbb{R}$ nên ra có
$e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}}$
Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right];i = \overline {1,n}$ để $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}}$
Chia $g(x) = e^{-1/x}$ thành $n$ đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1]$, ta thấy rằng
$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x$$
Vậy $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}=\int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x\sim 0,148496$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-05-2013 - 16:38
- namcpnh yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh