Đến nội dung

Hình ảnh

$x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
Cho $x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $
Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Cho $x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $
Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{1}{x+1} \le \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) \le \dfrac{1}{x}$

Áp dụng ta có

$-\dfrac{n}{i-1} \le n \ln \left( \dfrac{i-1}{i}\right) \le -\dfrac{n}{i}, \: \forall i = \overline{1,n}$

Do hàm $f(x) = e^x$ tăng trên $ \mathbb{R}$ nên ra có

$e^{-\frac{n}{i-1}} < \left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n < e^{-\frac{n}{i}}$

Vì vậy, $\exists \xi_i \in \left[\dfrac{i-1}{n},\, \dfrac{i}{n}\right];i = \overline {1,n}$ để  $e^{-\frac{n}{i-1}} < e^{\xi_i} < e^{\frac{n}{i}}$

Chia $g(x) = e^{-1/x}$ thành $n$ đoạn bằng nhau trên đoạn $[0, \, 1]$, ta thấy rằng

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{x_n}{n} = \sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{i-1}{i}\right)^n - \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = \displaystyle \int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x$$

 

Vậy $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}=\int_0^1 e^{-1/x} \, \mathrm{d}x\sim 0,148496$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-05-2013 - 16:38

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh