Chủ đề này có 5 trả lời

[MIM]

Trường THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

ĐỀ KIỂM TRA VÒNG LOẠI LỚP 10 CHUYÊN TOÁN LẦN I

TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ

Năm học: 2011-2012

Ngày 18/02/2012

Thời gian làm bài: 120p

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{array}{l}(x+y-1)\sqrt{x+y-1}+6x+2y=20 \\(3x+y-2)\sqrt{3x+y-2}+2x+2y=18 \end{array}\right.$$

Câu 2 (4 điểm)
Tìm tập hợp các số thực $a$ sao cho:
$$\forall x,y,z\in \mathbb{R}, x,y,z>0: (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-a(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq 3$$

Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AB,BC,CD,DA$ ( Mỗi cung này không chứa các đỉnh còn lại của tứ giác $ABCD$) Gia sử rằng $AC.BD=MP.NQ$.
Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy.

Câu 4 ( 4 điểm)
Cho $n+1$ số nguyên dương $a_0,a_1,....,a_n$ sao cho $a_0<a_1<a_2<...<a_n$. Kí hiệu $[a,b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a $ và $b$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:
$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+...+\frac{1}{[a_n-1,a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$

Câu 5(4 điểm)
Cho $M$ là tập hợp bất kì gồm 10 số nguyên dương không vượt quá 100. $A$ là tập con khác rỗng của M, kí hiệu $s(A)$ là tổng các phần tử thuộc $A$.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con $X,Y$ khác rỗng của M và $X\cap Y= \phi$ sao cho $s(X)=x(Y)$

-------------------HẾT------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 19-02-2012 - 09:07

[Ispectorgadget]

Câu 1: Đk.....
Hệ đã cho tương đương
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x + y - 1)\sqrt {x + y - 1} + 2(3x + y - 2) = 16 \\
(3x + y - 2)\sqrt {3x + y - 2} + 2(x + y - 1) = 16 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow (3x + y - 2)\sqrt {3x + y - 2} + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)\sqrt {x + y - 1} + 2(3x + y - 2) =
\]\[
\Leftrightarrow (3x + y - 2)(2 - \sqrt {3x + y - 2} ) + (x + y - 1)(\sqrt {x + y - 1} - 2) = 0
\]
Tới đây chi trường hợp ra để làm

[ducthinh26032011]

Trường THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

ĐỀ KIỂM TRA VÒNG LOẠI LỚP 10 CHUYÊN TOÁN LẦN I

TRƯỜNG QUỐC HỌC HUẾ

Năm học: 2011-2012

Ngày 18/02/2012

Thời gian làm bài: 120p

Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{array}{l}(x+y-1)\sqrt{x+y-1}+6x+2y=20 \\(3x+y-2)\sqrt{3x+y-2}+2x+2y=18 \end{array}\right.$$

Câu 2 (4 điểm)
Tìm tập hợp các số thực $a$ sao cho:
$$\forall x,y,z\in \mathbb{R}, x,y,z>0: (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-a(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq 3$$

Câu 3 (4 điểm)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AB,BC,CD,DA$ ( Mỗi cung này không chứa các đỉnh còn lại của tứ giác $ABCD$) Gia sử rằng $AC.BD=MP.NQ$.
Chứng minh $AC,BD,MP,NQ$ đồng quy.

Câu 4 ( 4 điểm)
Cho $n+1$ số nguyên dương $a_0,a_1,....,a_n$ sao cho $a_0<a_1<a_2<...<a_n$. Kí hiệu $[a,b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a $ và $b$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:
$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+...+\frac{1}{[a_n-1,a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$

Câu 5(4 điểm)
Cho $M$ là tập hợp bất kì gồm 10 số nguyên dương không vượt quá 100. $A$ là tập con khác rỗng của M, kí hiệu $s(A)$ là tổng các phần tử thuộc $A$.
Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp con $X,Y$ khác rỗng của M và $X\cap Y= \phi$ sao cho $s(X)=x(Y)$

-------------------HẾT------------------------

Em xin giải thử câu 2:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$
$\Rightarrow a(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\leq 6$
Mà:$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$(bđt Ne-bit)
$\Rightarrow a\leq \frac{6}{\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}}\leq \frac{6}{\frac{3}{2}}=4$

[x0xthankyoux0x]

cho mình hỏi đề này lấy bao nhiêu điểm thì đạt

[MIM]

Cái ni làm lâu rồi bạn à, đã chọn được 3 người và thi Olympic 30/4 có kết quả rồi..
Cỡ ~3 câu, tùy vào chuyện học hành trên lớp nữa

[hoangtrunghieu22101997]

Ta dùng quy nạp Toán học
-Khi n=1 bđt đúng
-Giả sử bđt đúng với n=k
Ta sẽ cm đúng với n=k+1
-Thật vậy:
+Nếu $a_{k+1} \ge 2^{k+1}$
Khi đó $[a_k , a_{k+1}] \ge a_{k+1} \ge 2^{k+1}$
Theo giả thiết quy nạp suy ra:
$A=\frac{1}{[a_0; a_1]} + \frac{1}{[a_1; a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1};a_n]}\le (1-\frac{1}{2^k})+\frac{1}{2^{k+1}} =1 - \frac{1}{2^n} $
+ Giả sử: $a_{k+1} < 2^{k+1}$
Ta có:
$\frac{1}{[a,b]}=\frac{(a,b)}{ab} \le \frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
Do đó:
$A \le (\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_1})+...+(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}})=\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_{k+1}} < 1-\frac{1}{2^{k+1}}$.
Ta có : $\square$