Cho $a,b,c,d$ thỏa
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất của d
Tìm giá trị lớn nhất của d
Started By yeutoan11, 18-02-2012 - 23:00
#1
Posted 18-02-2012 - 23:00
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#2
Posted 18-02-2012 - 23:53
Cho $a,b,c,d$ thỏa
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất của d
Mình xin được giải bài này:
Theo đề bài, ta có:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2=3$
$\Rightarrow 4a+4b+4c+4d=4a^2+4b^2+4c^2+4d^2=12$
$\Rightarrow (4a^2-4a+1)+(4b^2-4b+1)+(4c^2-4c+1)+(4d^2-4d+1) = 4$
$\Rightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2+(2d-1)^2 = 4$
Nhận xét: d lớn nhất $\Leftrightarrow (2d-1)^2$ đạt giá trị lớn nhất.
Lại có $(2a-1)^2 \ge 0; (2b-1)^2 \ge 0; (2c-1)^2 \ge 0$ nên $(2d-1)^2$ lớn nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2 = 0$
$\Rightarrow (2d-1)^2 = 4$
$\Leftrightarrow 2d-1 = 2; -2$
TH1: Nếu $2d-1 = 2 \Leftrightarrow d = \frac{3}{2} = 1,5$ (1)
TH2: Nếu $2d-1 = -2 \Leftrightarrow d = \frac{-1}{2} = 0,5$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow d$ đạt giá trị lớn nhất $=1,5 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$
Edited by ductai199x, 18-02-2012 - 23:55.
- vuhoangminh97, Tham Lang, yeutoan11 and 1 other like this
#3
Posted 19-02-2012 - 00:02
Bài này không phức tạp đâu em ạ. Thế thì anh xin post luôn
$$PT_1 \Leftrightarrow 3 - d = a + b + c , PT_2 \Leftrightarrow 3 - d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$
Áp dụng bất đẳng thức $bunhia$ ta có :
$$(3 - d)^2 = (a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2) = 3(3 - d^2) \Leftrightarrow 4d^2 - 6d \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \ge d \ge 0$$
$$PT_1 \Leftrightarrow 3 - d = a + b + c , PT_2 \Leftrightarrow 3 - d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$
Áp dụng bất đẳng thức $bunhia$ ta có :
$$(3 - d)^2 = (a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2) = 3(3 - d^2) \Leftrightarrow 4d^2 - 6d \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \ge d \ge 0$$
- perfectstrong, yeutoan11, Mai Duc Khai and 2 others like this
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users