Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoan11]

Cho $a,b,c,d$ thỏa
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất của d

[ductai199x]

Cho $a,b,c,d$ thỏa
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất của d

Mình xin được giải bài này:

Theo đề bài, ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2=3$

$\Rightarrow 4a+4b+4c+4d=4a^2+4b^2+4c^2+4d^2=12$

$\Rightarrow (4a^2-4a+1)+(4b^2-4b+1)+(4c^2-4c+1)+(4d^2-4d+1) = 4$

$\Rightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2+(2d-1)^2 = 4$

Nhận xét: d lớn nhất $\Leftrightarrow (2d-1)^2$ đạt giá trị lớn nhất.

Lại có $(2a-1)^2 \ge 0; (2b-1)^2 \ge 0; (2c-1)^2 \ge 0$ nên $(2d-1)^2$ lớn nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2 = 0$

$\Rightarrow (2d-1)^2 = 4$

$\Leftrightarrow 2d-1 = 2; -2$

TH1: Nếu $2d-1 = 2 \Leftrightarrow d = \frac{3}{2} = 1,5$ (1)

TH2: Nếu $2d-1 = -2 \Leftrightarrow d = \frac{-1}{2} = 0,5$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow d$ đạt giá trị lớn nhất $=1,5 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 18-02-2012 - 23:55

[Tham Lang]

Bài này không phức tạp đâu em ạ. Thế thì anh xin post luôn
$$PT_1 \Leftrightarrow 3 - d = a + b + c , PT_2 \Leftrightarrow 3 - d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$
Áp dụng bất đẳng thức $bunhia$ ta có :
$$(3 - d)^2 = (a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2) = 3(3 - d^2) \Leftrightarrow 4d^2 - 6d \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \ge d \ge 0$$