Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 ductai199x

ductai199x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi - Amsterdam High School For the Gifted
  • Sở thích:Math, Computer Sience, Chemist, Eng,...

Đã gửi 19-02-2012 - 22:29

Cho $a,b,c \ge 0$ thoả mãn:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \ge 1$

CMR:

$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \ge 1$

Em So-zi, các anh thử làm đi :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai199x: 19-02-2012 - 22:45


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 19-02-2012 - 22:39

Bài này em đánh sai đề Rõ ràng luôn có $\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} > 0$ rồi mà (anh nghi ngờ em đánh sai chỗ này vì BĐTsau không đúng)

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 20-02-2012 - 21:25

Đề bài khá thiểu !!!
Vì đề bài tương đương với đề bài sau:
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \geq abc$. CM: $a^2 + b^2 + c^2 \geq abc$
Và sau đây là công trình nghiên cứu cách giải bài này.

<Ở dưới>

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-02-2012 - 12:12

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 20-02-2012 - 21:35

Giải như sau:
Đề tương đương cho $a+b+c\geq abc$ chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq abc$
$\left\{\begin{array}{1}a+b+c\geq abc \\a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \end{array}\right. \rightarrow \left\{\begin{array}{1}(a+b+c)^2\geq abc(a+b+c) \\a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \end{array}\right. \rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}\geq \dfrac{abc(a+b+c)}{3}$
TH1: $a+b+c\geq 3 \rightarrow \dfrac{abc(a+b+c)}{3}\geq abc \rightarrow a^2+b^2+c^2\geq abc \rightarrow Q.E.D$
TH2: $a+b+c<3$ <1>
Đến đây có 2 TH
Th1: Một số $\geq 1$ hai số $\le 1$ giả sử $a\geq 1$ và $b,c\le 1$ khi đó $\dfrac{a}{bc}\geq 1$ do đó có $đpcm$
Th2: Hai số $\geq 1$ một số $\le 1$ giả sử $a\geq 1, b\geq 1, c\le 1 \rightarrow a=1+x,b=1+y,c=1-z$
Kết hợp <1> có $a+b+c<3 \rightarrow x+y-z<0$ và $a,b,c>0$ nên $z<1$ <*>
Ta có $a^2+b^2+c^2=(1+x)^2+(1+y)^2+(1-z)^2=3+x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z (2)$
$abc=(1+x)(1+y)(1-z)=(1+x+y+xy)(1-z)=xy+x+y+1-z-xz-yz-xyz (3)$
Ta sẽ chứng minh $(2)>(3) \rightarrow 3+x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z>xy+x+y+1-z-xz-yz-xyz \rightarrow 2+(x^2+y^2-xy)+z^2+x+y+xz+yz+xyz>z$
Ta thấy $z<1$ (do <*>) do vậy $2>z$ và $x^2+y^2-xy>0$ nên $2+(x^2+y^2-xy)+z^2+x+y+xz+yz+xyz>z \rightarrow Q.E.D$

Tuy nhiên dấu $=$ khi nào nhỉ? chỉ cần tìm ra một dấu bằng là xong, có thể xét vài giá trị riêng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-02-2012 - 21:37


#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 20-02-2012 - 22:02

Giải như sau:
Đề tương đương cho $a+b+c\geq abc$ chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq abc$
$\left\{\begin{array}{1}a+b+c\geq abc \\a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \end{array}\right. \rightarrow \left\{\begin{array}{1}(a+b+c)^2\geq abc(a+b+c) \\a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \end{array}\right. \rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}\geq \dfrac{abc(a+b+c)}{3}$
TH1: $a+b+c\geq 3 \rightarrow \dfrac{abc(a+b+c)}{3}\geq abc \rightarrow a^2+b^2+c^2\geq abc \rightarrow Q.E.D$
TH2: $a+b+c<3$ <1>
Đến đây có 2 TH
Th1: Một số $\geq 1$ hai số $\le 1$ giả sử $a\geq 1$ và $b,c\le 1$ khi đó $\dfrac{a}{bc}\geq 1$ do đó có $đpcm$
Th2: Hai số $\geq 1$ một số $\le 1$ giả sử $a\geq 1, b\geq 1, c\le 1 \rightarrow a=1+x,b=1+y,c=1-z$
Kết hợp <1> có $a+b+c<3 \rightarrow x+y-z<0$ và $a,b,c>0$ nên $z<1$ <*>
Ta có $a^2+b^2+c^2=(1+x)^2+(1+y)^2+(1-z)^2=3+x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z (2)$
$abc=(1+x)(1+y)(1-z)=(1+x+y+xy)(1-z)=xy+x+y+1-z-xz-yz-xyz (3)$
Ta sẽ chứng minh $(2)>(3) \rightarrow 3+x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z>xy+x+y+1-z-xz-yz-xyz \rightarrow 2+(x^2+y^2-xy)+z^2+x+y+xz+yz+xyz>z$
Ta thấy $z<1$ (do <*>) do vậy $2>z$ và $x^2+y^2-xy>0$ nên $2+(x^2+y^2-xy)+z^2+x+y+xz+yz+xyz>z \rightarrow Q.E.D$

Tuy nhiên dấu $=$ khi nào nhỉ? chỉ cần tìm ra một dấu bằng là xong, có thể xét vài giá trị riêng

=.= em làm dài quá anh ngại đọc. Cách khác ngắn hơn cho a,b,c dương và $a+b+c\geq abc$ chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq abc$
Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0 thì BĐT được cm vì vậy ta xét a,b,c>0
Giả sử ngược lại $a^2+b^2+c^2<abc$,khi đó $abc>a^2+b^2+c^2>a^2$
Nên a<bc tương tự $b<ac, c<ab$ từ đó suy ra $a+b+c<ab+bc+ac$ (1)
Mặt khác lại có: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow abc>a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
Nên $abc>ab+bc+ac(2)$
Từ (1) và (2) ta có $abc>a+b+c$ trái giả thiết suy ra đpcm

p/S: Dùng phản chứng đôi khi lại hay :P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-02-2012 - 12:48

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 21-02-2012 - 12:10

Thế này nhé, có thể đề bài ở đầu sai (vì $a, b, c$ khác 0) và cũng như thế, tôi nghĩ tới 1 BĐT đúng hơn (Thỏa mãn dấu dẳng thức sảy ra):
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 1$
Chứng minh: $\frac{c}{ab} + \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} \geq \sqrt{3}$
Sau đây là chứng minh:

Hình đã gửi


P/S: Đôi khi dùng phản chứng lại sai (Thế mới chán !!!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-02-2012 - 12:22

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#7 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-02-2012 - 12:25

Thế này nhé, có thể đề bài ở đầu sai (vì $a, b, c$ khác 0) và cũng như thế, tôi nghĩ tới 1 BĐT đúng hơn (Thỏa mãn dấu dẳng thức sảy ra):
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 1$
Chứng minh: $\frac{c}{ab} + \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} \geq \sqrt{3}$
Sau đây là chứng minh:

Hình đã gửi


P/S: Đôi khi dùng phản chứng lại sai (Thế mới chán !!!)

Bạn có thể chỉ lỗi sai cho mình được không :closedeyes:
Với đề bài cho a,b,c dương và $a+b+c\geq abc$
CMR: $a^2+b^2+c^2\geq abc$
Đây chính là đề thi OLYMPIC TOÁN Ireland 1997
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#8 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 21-02-2012 - 12:45

=.= em làm dài quá anh ngại đọc. Cách khác ngắn hơn Đề tương đương cho $a+b+c\geq abc$ chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq abc$

Đây chính là lỗi sai cơ bản:
Cần phải chỉnh sửa đề lại
=.= em làm dài quá anh ngại đọc. Cách khác ngắn hơn Đề tương đương cho $a, b, c$ không âm thỏa mãn $a+b+c\geq abc$ chứng minh $a^2+b^2+c^2\geq abc$
_____________________________________________________________
Cuối cùng cũng tìm ra lỗi sai (Hi Hi)

Thôi không bàn tán nữa
Lực học mình còn thấp
Lại sắp thi học sinh giỏi Tỉnh
Ở nhà chuyên tâm vào học chứ không buôn ở Diễn Đàn Toán Học nữa đâu
(Nào, Nâng cao phát triển, Cực trị hình học, 1001,... ôn thôi !!!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-02-2012 - 12:50

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh