Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán Sinh viên 2012 ĐH Ngoại Thương HN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-02-2012 - 20:05

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SV NĂM 2012


Môn: Đại số

Ngày thi: 18/02/2012

--------------------------



Câu 1:Cho ma trận $A$ vuông cấp 2012 có các phần tử nằm trên đường chéo chính là số chẵn, các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số lẻ. Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch

Câu 2: Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n.n}$ với $a_{ij}\in{-1;1},n\ge3$. Chứng minh rằng
$$det(A)\le(n-1)(n+1)!$$
Cho một ví dụ chứng tỏ đẳng thức xảy ra?

Câu 3: Chứng minh rằng nếu $A$ là ma trận đối xứng, xác định dương cấp $n\ge1$ thì
$$Tr(A).Tr(A^{-1})\ge n^{2}$$
Câu 4: Cho đa thức hệ số thực $P(x),Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $$P(1+x+Q(x)^{2})=Q(1+x+P(x)^{2}),x\in R$$
Biết rằng phương trình $P(x)=Q(x)$ có nghiệm, chứng minh $P(x)\equiv Q(x)$

Câu 5: Cho $A,B$ là các ma trận thực,vuông cấp 2 thỏa mãn $AB=BA ; A^{2012}=B^{2012}=0$. Tính ma trận: $(A+B)^{2013}$

Câu 6: Cho các ma trận cùng cấp $A,B$ thỏa mãn điều kiện $A+B=AB$
Chứng minh rằng: $$AB=BA; det(A^2+B^2)\ge 0$$



---------------HẾT---------------



#2 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 20-02-2012 - 22:20

he, mềnh làm bài cuối dễ nhất nhá ^^
1, Từ A+B=AB suy ra (A-I)(B-I)=I suy ra (B-I)(A-I)=I tức là BA=A+B suy ra AB=BA
2, Do AB=BA nên $det(A^{2} + B^{2})=det[(A-iB)(A+iB)]=(det(A+iB))^{2}$
Xong!

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#3 hoangkhtn2010

hoangkhtn2010

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:lớp 11A1 toán KHTN

Đã gửi 21-02-2012 - 16:20

Bài 4 là bài trong tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số tháng 1 vừa qua, phần giải bài kì trước.
Trượt đội tuyển thì năm sau thi tiếp :D

#4 Draconid

Draconid

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Kinh Tế Quốc Dân

Đã gửi 22-02-2012 - 21:54

1: Ta chứng minh det(A)#0 vì trên đường chéo chính là các số lẻ và các phần tử còn lại chẵn nên det(A) là số lẻ=>đpcm
Tiếc quá năm nay ko thi đc Olimpic toán NEU<<<

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Draconid: 22-02-2012 - 21:56

PC đã hỏng chờ mua máy mới :((

#5 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-03-2012 - 20:56

bài 1: nhìn vào bài này chỉ có con đường dùng đồng dư thức CM khả nghịch nhưng phải xem các phần tử nó ntn? thường thì áp dụng đồng dư vs MT E ( đơn vị ). bài này khá hay ở chỗ áp dụng đồng dư vs MT nào đó có cấp 2012 mà các phần tử trên đường chéo chính toàn số 0 ngoài đường chéo chính là số 1 (hay ở chỗ vừa phải tính định thức vừa phải đồng dư). sao đó suy ra det(A) khác 0 hay A khả nghịch đpcm !
còn bài 6 thì quá dễ , chứng mjh giao hoán thì đưa về MT E, nói nó nghịch đảo của nhau nên có tc giao hoán, còn CM định thức lớn hơn or bằng 0 thì do AB = BA nên phân tích biểu thức A mũ 2 + B mũ 2 về dạng số phức liên hợp là xong !:D :ukliam2:

#6 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-03-2012 - 21:01

Bài 5 mình nghĩ cho thiếu giả thuyết rồi A mũ 2012 = B mũ 2012 = 0 thì mới đúng. bài này phải xét MT A thực khác 0 mới làm được!

#7 phamtan11

phamtan11

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 02-04-2012 - 17:27

câu 3
Vì A là ma trận đối xứng nên chéo hóa được , mt A có n giá trị riêng thực giả sử là α1, α2 ,.., αn. vì A xác định dương nên các giá trị riêng >0.
Mà trận A-1 có các giá trị riêng là : 1/α1,...1/αn
tr(A)=α1+ α2+...+ αn và tr(A-1)=1/α1 +..+1/αn
áp dụng bất đẳng thức ta có :tr(A).tr(A-1)>= N2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamtan11: 02-04-2012 - 17:34


#8 phamthuansp2

phamthuansp2

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 21-07-2012 - 22:27

Bạn nào giải chi tiết cho mình Câu 5 với???

#9 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-07-2012 - 16:49

Bạn nào giải chi tiết cho mình Câu 5 với???



Theo giả thiết $A^{2012}=0$ nên $A$ suy biến, do đó tồn tại $v\not=0$ sao cho $Av=0$.

+ Nếu $A=0$ khi đó ta có $(A+B)^{2013}=0.$

+ Nếu $A\not=0$ khi đó $rank(A)=1$ và $dim(Ker A)=1$, do đó $AR^2=\{\lambda u: \lambda \in R\}$. Do đó $Au=\alpha u$ từ giả thiết $A^{2012}=0$ suy ra $Au=0$. Vậy $A^2=0$.

Ta có $ABv=BAv=0$ do đó $Bv\in Ker(A)$ nên $Bv=a v$ (do $Ker A$ có số chiều 1). Từ giả thiết $B^{2012}=0$ suy ra $Bv=0$.

Lí luận như trên suy ra $B^2=0$. Do đó $(A+B)^{2013}=0$

Theo 123456



#10 Tranhang

Tranhang

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi có nghị lực

Đã gửi 08-12-2012 - 20:08

sao mình gõ công thức toán học ko đươc thế nhỉ?? ai giúp với ạ??
"Con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng"

Không có thất bại............
Chỉ có bạn ngừng cố gắng.............

#11 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 08-12-2012 - 21:17

he, mềnh làm bài cuối dễ nhất nhá ^^
1, Từ A+B=AB suy ra (A-I)(B-I)=I suy ra (B-I)(A-I)=I tức là BA=A+B suy ra AB=BA
2, Do AB=BA nên $det(A^{2} + B^{2})=det[(A-iB)(A+iB)]=(det(A+iB))^{2}$
Xong!


Em biết bài này có thể tổng quát cho $aA+bB=AB$ chứng minh rằng $AB=BA$

#12 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 06-01-2013 - 14:41

bài 5) nều chứng minh tốt hơn là " vẫn là giải thiết đó.chứng minh rằng (A+B)2=0 (tổng quát là ma trận A cấp n mà lũy linh thì An =0 ) chứng minh thử đi các bạn

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#13 GreatLuke

GreatLuke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN

Đã gửi 30-01-2013 - 16:13

Câu 5: Vì $A,B$ là các ma trận cấp 2 và lũy linh nên $A^{2}=B^{2}=0$. Theo giả thiết $AB=BA$ nên $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}+2AB=2AB$. Vì vậy $(A+B)^{4}=4A^{2}B^{2}=0$.
p/s: đề này dễ ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 31-01-2013 - 16:55





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh