Chủ đề này có 12 trả lời

[Crystal]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC

ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SV NĂM 2012

Môn: Đại số

Ngày thi: 18/02/2012

--------------------------

Câu 1:Cho ma trận $A$ vuông cấp 2012 có các phần tử nằm trên đường chéo chính là số chẵn, các phần tử nằm ngoài đường chéo chính là các số lẻ. Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch

Câu 2: Cho ma trận $A=(a_{ij})_{n.n}$ với $a_{ij}\in{-1;1},n\ge3$. Chứng minh rằng
$$det(A)\le(n-1)(n+1)!$$
Cho một ví dụ chứng tỏ đẳng thức xảy ra?

Câu 3: Chứng minh rằng nếu $A$ là ma trận đối xứng, xác định dương cấp $n\ge1$ thì
$$Tr(A).Tr(A^{-1})\ge n^{2}$$
Câu 4: Cho đa thức hệ số thực $P(x),Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $$P(1+x+Q(x)^{2})=Q(1+x+P(x)^{2}),x\in R$$
Biết rằng phương trình $P(x)=Q(x)$ có nghiệm, chứng minh $P(x)\equiv Q(x)$

Câu 5: Cho $A,B$ là các ma trận thực,vuông cấp 2 thỏa mãn $AB=BA ; A^{2012}=B^{2012}=0$. Tính ma trận: $(A+B)^{2013}$

Câu 6: Cho các ma trận cùng cấp $A,B$ thỏa mãn điều kiện $A+B=AB$
Chứng minh rằng: $$AB=BA; det(A^2+B^2)\ge 0$$

---------------HẾT---------------

[leminhansp]

he, mềnh làm bài cuối dễ nhất nhá ^^
1, Từ A+B=AB suy ra (A-I)(B-I)=I suy ra (B-I)(A-I)=I tức là BA=A+B suy ra AB=BA
2, Do AB=BA nên $det(A^{2} + B^{2})=det[(A-iB)(A+iB)]=(det(A+iB))^{2}$
Xong!

[hoangkhtn2010]

Bài 4 là bài trong tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số tháng 1 vừa qua, phần giải bài kì trước.

[Draconid]

1: Ta chứng minh det(A)#0 vì trên đường chéo chính là các số lẻ và các phần tử còn lại chẵn nên det(A) là số lẻ=>đpcm
Tiếc quá năm nay ko thi đc Olimpic toán NEU<<<

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Draconid: 22-02-2012 - 21:56

[okbabi]

bài 1: nhìn vào bài này chỉ có con đường dùng đồng dư thức CM khả nghịch nhưng phải xem các phần tử nó ntn? thường thì áp dụng đồng dư vs MT E ( đơn vị ). bài này khá hay ở chỗ áp dụng đồng dư vs MT nào đó có cấp 2012 mà các phần tử trên đường chéo chính toàn số 0 ngoài đường chéo chính là số 1 (hay ở chỗ vừa phải tính định thức vừa phải đồng dư). sao đó suy ra det(A) khác 0 hay A khả nghịch đpcm !
còn bài 6 thì quá dễ , chứng mjh giao hoán thì đưa về MT E, nói nó nghịch đảo của nhau nên có tc giao hoán, còn CM định thức lớn hơn or bằng 0 thì do AB = BA nên phân tích biểu thức A mũ 2 + B mũ 2 về dạng số phức liên hợp là xong !

[okbabi]

Bài 5 mình nghĩ cho thiếu giả thuyết rồi A mũ 2012 = B mũ 2012 = 0 thì mới đúng. bài này phải xét MT A thực khác 0 mới làm được!

[phamtan11]

câu 3
Vì A là ma trận đối xứng nên chéo hóa được , mt A có n giá trị riêng thực giả sử là α1, α2 ,.., αn. vì A xác định dương nên các giá trị riêng >0.
Mà trận A-1 có các giá trị riêng là : 1/α1,...1/αn
tr(A)=α1+ α2+...+ αn và tr(A-1)=1/α1 +..+1/αn
áp dụng bất đẳng thức ta có :tr(A).tr(A-1)>= N2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamtan11: 02-04-2012 - 17:34

[phamthuansp2]

Bạn nào giải chi tiết cho mình Câu 5 với???

[Crystal]

Bạn nào giải chi tiết cho mình Câu 5 với???

Theo giả thiết $A^{2012}=0$ nên $A$ suy biến, do đó tồn tại $v\not=0$ sao cho $Av=0$.

+ Nếu $A=0$ khi đó ta có $(A+B)^{2013}=0.$

+ Nếu $A\not=0$ khi đó $rank(A)=1$ và $dim(Ker A)=1$, do đó $AR^2=\{\lambda u: \lambda \in R\}$. Do đó $Au=\alpha u$ từ giả thiết $A^{2012}=0$ suy ra $Au=0$. Vậy $A^2=0$.

Ta có $ABv=BAv=0$ do đó $Bv\in Ker(A)$ nên $Bv=a v$ (do $Ker A$ có số chiều 1). Từ giả thiết $B^{2012}=0$ suy ra $Bv=0$.

Lí luận như trên suy ra $B^2=0$. Do đó $(A+B)^{2013}=0$

Theo 123456

[Tranhang]

sao mình gõ công thức toán học ko đươc thế nhỉ?? ai giúp với ạ??

[viet 1846]

he, mềnh làm bài cuối dễ nhất nhá ^^
1, Từ A+B=AB suy ra (A-I)(B-I)=I suy ra (B-I)(A-I)=I tức là BA=A+B suy ra AB=BA
2, Do AB=BA nên $det(A^{2} + B^{2})=det[(A-iB)(A+iB)]=(det(A+iB))^{2}$
Xong!

Em biết bài này có thể tổng quát cho $aA+bB=AB$ chứng minh rằng $AB=BA$

[1110004]

bài 5) nều chứng minh tốt hơn là " vẫn là giải thiết đó.chứng minh rằng (A+B)²=0 (tổng quát là ma trận A cấp n mà lũy linh thì Aⁿ =0 ) chứng minh thử đi các bạn

[GreatLuke]

Câu 5: Vì $A,B$ là các ma trận cấp 2 và lũy linh nên $A^{2}=B^{2}=0$. Theo giả thiết $AB=BA$ nên $(A+B)^{2}=A^{2}+B^{2}+2AB=2AB$. Vì vậy $(A+B)^{4}=4A^{2}B^{2}=0$.
p/s: đề này dễ ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GreatLuke: 31-01-2013 - 16:55