Việc học các khái niệm mà không biết chúng thực sự dùng để làm gì có cái nguy hiểm là: hoặc là sẽ thấy chán (tại sao mình lại phải học cái dở hơi này, ngoài trừ việc phải thi cho đỗ ?), hoặc là (đối với những người yêu toán, có thể học toán chỉ vì nó “hóc búa” chứ không cần biết là dùng làm gì) thì có một sự nguy hiểm khác là có thể quá sa đà vào những cái mà cuối cùng thì ít dùng đến, trong khi đó lại không dành thời giờ cho những cái có thể cần hơn. Bản thân tôi đã từng là “bệnh nhân” của “căn bệnh” này. Hồi nhỏ, tôi đọc sách về độ đo Lebesgue (quyển sách của Natanzon ?) rất thích, say sưa với các định lý trong đó về các tính chất của các tập đo được, các hàm đo được, và tưởng nhầm đấy là “đỉnh cao của toán học”, có thể dùng nó để “đo mọi thứ” từ cái nhà trở đi. Phải mất rất lâu sau tôi mới hiểu dần ra là lý thuyết đấy cũng chỉ là một trong các công cụ của toán học, và còn bao nhiêu kiến thức khác cần học, nếu chỉ biết có mỗi lý thuyết độ đo thôi thì cũng chẳng làm được gì.
Một trong những nguyên tắc của toán học là: bất kỳ khái niệm quan trọng nào cũng có lý do của nó; nó không phải từ trên trời rơi xuống, mà là xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nào đó. Hiểu được những lý do sinh ra khái niệm là bước quan trọng trong việc hiểu bản thân khái niệm.
Vậy dãy số (và tất cả các khái niệm kèm theo, như hội tụ, phân kỳ, giới hạn, v.v.) để làm gì ? Công dụng quan trọng nhất của chúng là: để tính toán gần đúng (với độ chính xác cao) những thứ ta cần tính toán !
Ví dụ, ta muốn tính căn bậc 2 của 3. Tất nhiên, thời nay, bấm vào máy tính sẽ cho ra ngay kết quả:
$$\sqrt 3 = 1.732050808$$
Tất nhiên, con số trên cũng không phải là con số hoàn toàn chính xác của $\sqrt 3$, mà chỉ là con số gần đúng với độ chính xác đến 9 chữ số sau dấu phẩy. Ta có thể bắt máy tính tính chính xác hơn, chẳng hạn đến 1000 chữ số sau dấu phẩy, cũng được. Máy tính không có con số đó sẵn trong bộ nhớ, nhưng nó có một thuật toán để tìm ra các giá trị xấp xỉ của $\sqrt 3$, nếu tính càng lâu thì ra kết quả càng chính xác. Thuật toán ở đây như thế nào ? Cùng một bài toán có thể có nhiều thuật toán khác nhau, nhưng các chương trình máy tính, dù có dùng thuật toán nào, thì cũng thường có phần quay vòng, lặp đi lặp lại (loop) trong đó. Chẳng hạn, để tính $\sqrt 3$, ta có thể làm theo thuật toán sau (tính bằng tay cũng được):
Bắt đầu từ một số nguyên gần với $\sqrt 3$, chẳng hạn $a_0 = 1$. Số này là một xấp xỉ thô thiển của với sai số cao.
Ta muốn thay $a_0$ bằng một số $a_1$ khác, là giá trị xấp xỉ của $\sqrt 3$ với sai số ít hơn. Ta đặt $a_1 = a_0 + b_1$ và giải phương trình theo $b_1$:
$$3 = (a_0 + b_1)^2 = a_0^2 + 2a_0b_1 + b_1^2$$
phương trình này là phương trình bậc hai, và lời giải chính xác cần dùng căn thức. Nhưng ta muốn tính với các phép cộng trừ nhân chia thôi. Bởi vậy ta làm như sau: coi $b_1$ là nhỏ, khi đó $b_1^2$ nhỏ đến mức có thể bỏ qua, và ta thay phương trình trên bằng phương trình mới không có $b_1^2$ trong đó:
$$3 = a_0^2 + 2a_0b_1$$
Nghiệm của nó là: $b_1=\frac{3-a_0^2}{2a_0}$ và
$$a_1 = a_0+b_1=\frac{3+a_0^2}{2a_0}$$
Với $a_0 = 1$, ta được $a_1 = \frac{3+1}{2}=2$. Số 2 là một giá trị gần đúng của với sai số còn rất lớn, nhưng sai số này đã nhỏ hơn đáng kể so với sai số của giá trị gần đúng 1.
Khi có $a_1$ rồi, ta tìm số $a_2$ là giá trị gần đúng khác của $\sqrt 3$, chính xác hơn so với $a_1$. Làm hệt như trên, ta được:
$$a_2 = \frac{3+a_1^2}{2a_1} = \frac{3+2^2}{4} = 1.75$$
Con số này đã không còn cách xa lắm giá trị thật của , vì $1.75^2 = 3.0625$.
Tiếp thêm bước nữa, ta có:
$$a_3 = \frac{3+a_2^2}{2a_2} = \frac{3+1.75^2}{3.5} = 1.73214...$$.
Lần này độ chính xác đã đến 3 chữ số sau dấu phẩy.
Tiếp thêm bước nữa:
$$a_4 = \frac{3+a_3^2}{2a_3} = 1.73205081...$$.
Lần này độ chính xác đã lên tới 7 chữ số sau dấu phẩy !
Các con số trên cho thấy thuật toán trên dùng để tính $\sqrt 3$ tuy đơn giản mà rất hiệu nghiệm: chỉ cần làm 4 vòng (từ $a_0$ đi đến $a_4$) là ta đã được kết quả chính xác đến 7 chữ số sau dấu phẩy. Nếu ta cứ tiếp tục lặp đi lặp lại như trên mãi, thì ta được một dãy số $\left ( a_n \right )_{n \in \mathbb{N}}$ hội tụ rất nhanh đến $\sqrt 3$. Để tính $\sqrt 3$ với độ chính xác bất kỳ nào đó theo yêu cầu, chỉ cần lấy một số tự nhiên $n$ tương ứng, rồi tính lặp đi lặp lại như trên cho đến khi ra số $a_n$. Các máy tính làm hoàn toàn tương tự như vậy.
(Bài tập: chứng minh rằng $a_11$ là căn bậc hai của 3 chính xác đến hơn 1000 chữ số sau dấu phẩy).
(Phương pháp tính toán hội tụ nhanh như trên được biết đến từ thời Newton, và mang tên phương pháp Newton. Các phương pháp hội tụ nhanh về sau mang tên Kolmogorov — Nash — Moser dùng trong các vấn đề phương trình đạo hàm riêng hay cơ học thiên thể là dựa trên phương pháp Newton này)
Theo zung.zetamu.net
