Chủ đề này có 15 trả lời

[minhson95]

cho $a, b, c$ là các số dương và abc=8. CMR:

$\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geq \dfrac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 28-02-2012 - 20:14

[whiterose96]

cho $a, b, c$ là các số dương và abc=8. CMR:

$\dfrac{a^2}{(1+a^3)(1+b^3)}+\dfrac{b^2}{(1+b^3)(1+c^3)}+\dfrac{c^2}{(1+c^3)(1+a^3)} \geq \dfrac{4}{3}$

ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức trên suy ra
vế trái $\geq \frac{4a^{2}}{\left ( 2+a^{2} \right )\left ( 2+b^{2} \right )}+\frac{4b^{2}}{\left ( 2+b^{2} \right )\left ( 2+c^{2} \right )}+\frac{4c^{2}}{\left ( 2+c^{2} \right )\left ( 2+a^{2} \right )}$
đặt $x=\frac{a^{2}}{4}; y=\frac{b^{2}}{4}; z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó $xyz=1$
ta phải chứng minh $\frac{x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )}+\frac{y}{\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )}+\frac{z}{\left ( 1+2z \right )\left ( 1+2x \right )}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
áp dụng bdt AM-GM ta chứng minh được $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

[minhson95]

ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức trên suy ra
vế trái $\geq \frac{4a^{2}}{\left ( 2+a^{2} \right )\left ( 2+b^{2} \right )}+\frac{4b^{2}}{\left ( 2+b^{2} \right )\left ( 2+c^{2} \right )}+\frac{4c^{2}}{\left ( 2+c^{2} \right )\left ( 2+a^{2} \right )}$
đặt $x=\frac{a^{2}}{4}; y=\frac{b^{2}}{4}; z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó $xyz=1$
ta phải chứng minh $\frac{x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )}+\frac{y}{\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )}+\frac{z}{\left ( 1+2z \right )\left ( 1+2x \right )}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
áp dụng bdt AM-GM ta chứng minh được $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

mình không hiểu cách giải này lắm

áp dụng bất đẳng thức trên phải suy ra
vế trái $\geq \dfrac{16a^2}{(a^2+2)^2(b^2+2)^2}+\dfrac{16b^2}{(b^2+2)^2(c^2+2)^2}+\dfrac{16c^2}{(c^2+2)^2(a^2+2)^2}$
chứ

[whiterose96]

mình không hiểu cách giải này lắm

áp dụng bất đẳng thức trên phải suy ra
vế trái $\geq \dfrac{16a^2}{(a^2+2)^2(b^2+2)^2}+\dfrac{16b^2}{(b^2+2)^2(c^2+2)^2}+\dfrac{16c^2}{(c^2+2)^2(a^2+2)^2}$
chứ

sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình

[minhson95]

sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình

sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình

uh. mình chép nhầm đề.

nhưng mình không hiểu chỗ

áp dụng AM-GM ta CM được

$(1+2x)(1+2y)(1+2z) \geq 3^3$

suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

cái này cm kiểu gì vậy bạn? giải thích giúp mình với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 28-02-2012 - 20:20

[whiterose96]

uh. mình chép nhầm đề.

nhưng mình không hiểu chỗ

áp dụng AM-GM ta CM được

$(1+2x)(1+2y)(1+2z) \geq 3^3$

suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm

cái này cm kiểu gì vậy bạn? giải thích giúp mình với!

uhm, đơn giản thôi
áp dụng AM-GM ta có:
$1+2x= 1+x+x \geq 3\sqrt[3]{x^{2}}$
tương tự với 1+2y, 1+2z thì ta có $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=$3^{3}$$ vì xyz=1

còn chứng minh $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ thì ta áp dụng AM-GM cho 9 số xy, yz, xz, xy, yz, xz, x, y, z và có xyz=1 => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whiterose96: 28-02-2012 - 22:40

[Katyusha]

uhm, đơn giản thôi
áp dụng AM-GM ta có:
$1+2x= 1+x+x \geq 3\sqrt[3]{x^{2}}$
tương tự với 1+2y, 1+2z thì ta có $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3$ vì xyz=1

còn chứng minh $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ thì ta áp dụng AM-GM cho 9 số xy, yz, xz, xy, yz, xz, x, y, z và có xyz=1 => đpcm

Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 28-02-2012 - 22:38

[whiterose96]

Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?

vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
dùng tính chất bắc cầu
$x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq \frac{1}{3}\times 3^{3}=9$

[Tham Lang]

vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
dùng tính chất bắc cầu
$x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq \frac{1}{3}\times 3^{3}=9$

Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.
Phải là
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-02-2012 - 23:05

[whiterose96]

Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.
Phải là
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.

mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?

[Tham Lang]

mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?

Thực ra, bạn cần chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$$
Nhưng bạn lại chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq 9$$ Và $$\frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \ge 9$$

[minhson95]

Thực ra, bạn cần chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$$
Nhưng bạn lại chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq 9$$ Và $$\frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \ge 9$$

thế bài này làm kiểu gì hả bạn!

[Katyusha]

thế bài này làm kiểu gì hả bạn!

Thì cách của bạn whiterose gần hoàn chỉnh rồi, chỉ có ít nhầm lẫn ở BĐT cuối thôi:

$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$

BĐT này có thể xử lý theo cách của bạn huymit

$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.

[ngqhung]

ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Cho mình hỏi cách tìm ra bđt này, nếu $abc$ bằng một số khác có ra được bđt đẹp này không, hay đây chỉ là một trường hợp ra đẹp

[minhson95]

Thì cách của bạn whiterose gần hoàn chỉnh rồi, chỉ có ít nhầm lẫn ở BĐT cuối thôi:

$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$

BĐT này có thể xử lý theo cách của bạn huymit

mình không hiểu đoạn này mọi người giải thích giùm với

BDT$ \Leftrightarrow2(xy+yz+zx)+x+y+z \geq 8xyz+1$

[Katyusha]

mình không hiểu đoạn này mọi người giải thích giùm với

BDT$ \Leftrightarrow2(xy+yz+zx)+x+y+z \geq 8xyz+1$

Đó là bước khai triển và thu gọn 2 vế thôi bạn