Chủ đề này có 6 trả lời

[whiterose96]

Bài 1: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:
$\frac{ab}{c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}}+\frac{ac}{b^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2: Cho a,b,c khác nhau đôi một và ab+bc+ca=4. CMR:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq 1$

Công thức kẹp trong cặp dấu $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-02-2012 - 23:09

[wallunint]

Bài 1: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. CMR:
$\frac{ab}{c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}}+\frac{bc}{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}}+\frac{ac}{b^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2: Cho a,b,c khác nhau đôi một và ab+bc+ca=4. CMR:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq 1$

Công thức kẹp trong cặp dấu $

Hi !!!
Bài 1: Sử dụng đổi biến

Bài 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq \frac{4}{ab+bc+ca} $
Ta chú ý rằng: $ \left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - c} \right)^2 = \left( {a - b} \right)^2 + 2\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) $
và $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $
Áp dụng bđt AM-GM, ta đc:

$ \sum {\frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }}} = \frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }} + \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{{\left( {a - c} \right)^2 \left( {b - c} \right)^2 }} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} $

$ \ge \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} \ge \frac{4}{{ab + bc + ca}} $

ZZ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 28-02-2012 - 09:17

[Katyusha]

Bạn nói rõ đổi biến như thế nào được không

[whiterose96]

Hi !!!
Bài 1: Sử dụng đổi biến

Bài 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq \frac{4}{ab+bc+ca} $
Ta chú ý rằng: $ \left( {a - c} \right)^2 + \left( {b - c} \right)^2 = \left( {a - b} \right)^2 + 2\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) $
và $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $
Áp dụng bđt AM-GM, ta đc:

$ \sum {\frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }}} = \frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }} + \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{{\left( {a - c} \right)^2 \left( {b - c} \right)^2 }} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} $

$ \ge \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{2}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} \ge \frac{4}{{ab + bc + ca}} $

ZZ

bạn có thể nói rõ cách làm bài 1 k?
còn bài 2 chỗ chứng minh $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $ mình ko hiểu lắm

[Katyusha]

bạn có thể nói rõ cách làm bài 1 k?
còn bài 2 chỗ chứng minh $ \left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \le ab + bc + ca $ mình ko hiểu lắm

Ta đặt thêm giả thiết $z=min{x,y,z}$ là được đó bạn

[vietfrog]

Bài 1 thì dễ thấy đổi biến như thế này:
Đặt $ab=x;bc=y;cd=z$ thì ta có$xyz=1$.
Ta có ngay BĐT dễ nhìn hơn:

\[\frac{x}{{{y^2} + {z^2}}} + \frac{y}{{{z^2} + {x^2}}} + \frac{z}{{{x^2} + {y^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Chứng minh cái này thì cũng không khó!
Bạn đọc tự chứng minh!

[Katyusha]

Bài 1 thì dễ thấy đổi biến như thế này:
Đặt $ab=x;bc=y;cd=z$ thì ta có$xyz=1$.
Ta có ngay BĐT dễ nhìn hơn:

\[\frac{x}{{{y^2} + {z^2}}} + \frac{y}{{{z^2} + {x^2}}} + \frac{z}{{{x^2} + {y^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Chứng minh cái này thì cũng không khó!
Bạn đọc tự chứng minh!

Anh gợi ý hướng chứng minh được không? Em nghĩ mãi không ra