Chủ đề này có 2 trả lời

[khacduongpro_165]

1:
Cho đa thức $P(x)$ thỏa $P(x)>P'(x)$ với mọi $x$ thực. Chứng minh: $P(x)>0$

2:
Biết rằng đa thức $P(x)$ có $m$ nghiệm thục, chứng minh đa thức $Q(x)$ có ít nhất $m$ nghiêm thực, với $Q(x)=(x^2+1)P(x) + P'(x)$

[Crystal]

1:
Cho đa thức $P(x)$ thỏa $P(x)>P'(x)$ với mọi $x$ thực. Chứng minh: $P(x)>0$

Từ giả thiết, suy ra $P(x)$ có bậc chẵn.

Giả sử $\exists {x_0}:\,\,P\left( {{x_0}} \right) \leqslant 0$ suy ra phương trình $P(x)=0$ có ít nhất 2 nghiệm.

$ \Rightarrow {e^{ - x}}P\left( x \right) = 0$ có ít nhất 2 nghiệm $\Rightarrow {\left( {{e^{ - x}}P\left( x \right)} \right)^\prime } = 0$ có nghiệm.

Do đó: $ - {e^{ - x}}P\left( x \right) + {e^{ - x}}P'\left( x \right) = 0$ có nghiệm $ \Rightarrow P'\left( x \right) - P\left( x \right) = 0$ có nghiệm. Vô lí.

Vậy ta có đpcm.

[Crystal]

2:
Biết rằng đa thức $P(x)$ có $m$ nghiệm thục, chứng minh đa thức $Q(x)$ có ít nhất $m$ nghiêm thực, với $Q(x)=(x^2+1)P(x) + P'(x)$

Đây là một câu trong đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc năm 2003.

Đáp án đã có