Chủ đề này có 83 trả lời

[Dung Dang Do]

Xin phép mọi người cho em mở topic này để dành cho các mem ôn thi học sinh giỏi lớp 8
Em sẽ mở đầu với vài bài toán
Bài 1: Tìm các số nguyên $m,n$ thoã mãn $m=\frac{n^2+n+1}{n+1}$
b) đặt $A=n^3+3n^2+5n+3$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của $n$.
c) Nếu $a$ chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì $a^2+b^2$ chia hết cho $13$
Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $
$b) \left [ \left ( x+\frac{1}{x} \right )^6-(x^6-\frac{1}{x^6}-2) \right ];\left [ (x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3} \right ]$
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ đều, gọi M là trung điểm BC. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm M sao cho cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB,AC lần lượt tại D,E
Chứng minh
$a)BD.CE=\frac{BC^2}{4}$
b) DM,EM lần lượt phân giác của BDE và CED
c) chu vi tam giác ADE ko đổi
___
p:s em chỉ pót từng này thui hồi nựa em pót tiếp bây giờ đi học đạ
em mong topic này sẽ sôi nổi

[Zaraki]

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.

c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-03-2012 - 19:55

[Dung Dang Do]

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Câu 1 a) lớp 7 học đến kiểu này chưa nhỉ
$m=\frac{n^2+n+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\Rightarrow n+1\in \left \{ 1;-1 \right \}\iff n=0;-2\iff m=1;-3$
------------
P:S em chuyển sang box đại số được ko. Anh đi học đây hồi nựa xuống sẽ pót đề tiếp

[nguyenta98]

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$

[minhtuyb]

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$

Từ giả thiết thấy $x\neq 0$
$x(2008-x^{2007})=2007\Leftrightarrow 2008-x^{2007}=\frac{2007}{x}\Leftrightarrow x^{2007}+\frac{2007}{x}=2008$
Dễ thấy $x>0$, áp dụng BĐT AM-GM cho 2008 số, ta có:
$VT=x^{2007}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}(2007 số \frac{1}{x})\geq 2008\sqrt[2008]{x^{2007}.\frac{1}{x}.\frac{1}{x}...\frac{1}{x}}=2008=VP$
Giả thiết cho ở dấu bằng nên: $x^{2007}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1$(Loại $x=-1$ vì $x>0$)
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 05-03-2012 - 16:39

[Dinh Xuan Hung]

Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $

 

$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}-\frac{ac}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(a-c)(b-c)}=\frac{bc(b-c)+ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=1$

[Thu Huyen 21]

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.

c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Bài 1a thiếu rồi, $n=-2; m=-3$ nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 23-02-2015 - 11:59

[Ngoc Hung]

Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng

1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$

2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

[Ngoc Hung]

Bài 2: Cho a, b, c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1 & \\ a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1 & \end{matrix}\right.$

Tính tổng $S=a^{2013}+b^{2014}+c^{2015}$

[Namthemaster1234]

Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng

1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$

2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

 

1.a.

$a-b-c=0\Leftrightarrow a=b+c\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow (a^2-b^2-c^2)^2=4b^2c^2\Leftrightarrow \sum a^4=\sum 2a^2b^2\Leftrightarrow 2\sum a^4=(\sum a^2)^2$

1.b.

$a=b+c\Leftrightarrow a^5=b^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b+c^5\Leftrightarrow a^5-b^5-c^5=5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b\Leftrightarrow (a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+bc)\Leftrightarrow 2(a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+(b+c)^2)=5abc(a^2+b^2+c^2)$

[Ngoc Hung]

Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.

a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$

b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên

[Ngoc Hung]

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.

[Namthemaster1234]

Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.

a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$

b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên

a,

$f(f(x)+x)=f(x^2+bx+c+1)=(x^2+bx+c+x)^2+b(x^2+bx+c+x)+c=(x^2+bx+c)^2+2x(x^2+bx+c)+b(x^2+bx+c)+x^2+bx+c=(x^2+bx+c)(x^2+2x+b+bx+c+1)=(x^2+bx+c)((x+1)^2+b(x+1)+c)=f(x)f(x+1)$  $\Rightarrow Q.E.D$

 

b, Có: $f(2014^2+2014b+c+2014)=f(2014).f(2015)$

 

Đặt $2014^2+2014b+c+2014=k$ thì k nguyên và: $f(k)=f(2014).f(2015)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-03-2015 - 13:26

[Namthemaster1234]

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.

 

Bài 1: Xét đa thức $f(x)$. Dễ dàng CM : $a-b\mid f(a)-f(b)$ với a,b nguyên.

 

Như vậy: $23\mid f(26)-f(3)\rightarrow 23\mid -64$ (Vô lý)

 

Vậy không tồn tại.

[Namthemaster1234]

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.

Bài 2: Set: $f(x)=a_nx^n+..+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$
 
Có: $f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=1995$
 

 ta có:
 
$f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=3.8^3+7.8^2+8+3$

Vậy: $f(x)=x^3+7x^2+x+3$

 

Spoiler

Chi hachinh post em mấy bài đa thức, hàm số, tổ hợp hoặc hình học (diện tích) thì càng tốt. Em đang ôn phần đó.
Số học cũng được đó chị =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 05:44

[Namthemaster1234]

Bài 3: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn : $P(x)+P(\frac{1}{x})=x+\frac{1}{x}$ với mọi x khác 0

 

Bài 4: Tìm min của $A=\left | x-y \right |$ biết $9x^2+y^2=1$

 

Bài 5: Giải hệ theo tập nghiệm nguyên:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+13y^2=z^2 & & \\ 13x^2+y^2=t^2 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 13:15

[Ngoc Hung]

Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên

[Namthemaster1234]

Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên

Bài 6 : Ta có $A=\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}=\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{120}$

 

Dễ dàng thấy TS là 4 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8,3,5 hay tích của chúng chia hết cho 120

 

Vậy A là số tự nhiên
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 15-03-2015 - 06:02

[Ngoc Hung]

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi giá trị của n, đa thức $(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị n sao cho $x^{2n}+x^{n}+1$ chia hết cho $x^{2}+x+1$.

[AnhNgoc030201]

Em xin giải quyết bài 4

 

Bài 4: Ta đặt $x-y=C$ $\Leftrightarrow y=x-C\Leftrightarrow 9x^2+(x-C)^2=1\Leftrightarrow 10x^2-2xC+C^2-1=0\Leftrightarrow \Delta ^{'}=C^2-10(C^2-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow C^2\leqslant \frac{10}{9}\Leftrightarrow A\geqslant -\frac{\sqrt{10}}{3}$

Dấu ''='' xảy ra $\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2=1 & & \\ y=-9x & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ này ra...em nhác lắm