Topic dành cho các mem ôn thi học sinh giỏi lớp 8
#1
Đã gửi 02-03-2012 - 19:42
Em sẽ mở đầu với vài bài toán
Bài 1: Tìm các số nguyên $m,n$ thoã mãn $m=\frac{n^2+n+1}{n+1}$
b) đặt $A=n^3+3n^2+5n+3$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của $n$.
c) Nếu $a$ chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì $a^2+b^2$ chia hết cho $13$
Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $
$b) \left [ \left ( x+\frac{1}{x} \right )^6-(x^6-\frac{1}{x^6}-2) \right ];\left [ (x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3} \right ]$
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ đều, gọi M là trung điểm BC. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm M sao cho cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB,AC lần lượt tại D,E
Chứng minh
$a)BD.CE=\frac{BC^2}{4}$
b) DM,EM lần lượt phân giác của BDE và CED
c) chu vi tam giác ADE ko đổi
___
p:s em chỉ pót từng này thui hồi nựa em pót tiếp bây giờ đi học đạ
em mong topic này sẽ sôi nổi
- daovuquang, minhtuyb và Lao Hac thích
#2
Đã gửi 02-03-2012 - 19:51
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.
b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.
c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-03-2012 - 19:55
- Dung Dang Do, minhtuyb, DarkBlood và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 02-03-2012 - 19:56
Câu 1 a) lớp 7 học đến kiểu này chưa nhỉ1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.
b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.
$m=\frac{n^2+n+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\Rightarrow n+1\in \left \{ 1;-1 \right \}\iff n=0;-2\iff m=1;-3$
------------
P:S em chuyển sang box đại số được ko. Anh đi học đây hồi nựa xuống sẽ pót đề tiếp
#4
Đã gửi 02-03-2012 - 22:26
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$
- Dung Dang Do, daovuquang và manata36 thích
#5
Đã gửi 05-03-2012 - 16:39
Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$
Từ giả thiết thấy $x\neq 0$
$x(2008-x^{2007})=2007\Leftrightarrow 2008-x^{2007}=\frac{2007}{x}\Leftrightarrow x^{2007}+\frac{2007}{x}=2008$
Dễ thấy $x>0$, áp dụng BĐT AM-GM cho 2008 số, ta có:
$VT=x^{2007}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}(2007 số \frac{1}{x})\geq 2008\sqrt[2008]{x^{2007}.\frac{1}{x}.\frac{1}{x}...\frac{1}{x}}=2008=VP$
Giả thiết cho ở dấu bằng nên: $x^{2007}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1$(Loại $x=-1$ vì $x>0$)
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 05-03-2012 - 16:39
- perfectstrong, thuynguyenly, DarkBlood và 4 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 23-02-2015 - 10:53
Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $
$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}-\frac{ac}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(a-c)(b-c)}=\frac{bc(b-c)+ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=1$
- Lao Hac yêu thích
#7
Đã gửi 23-02-2015 - 11:50
1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.
b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.
c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.
Bài 1a thiếu rồi, $n=-2; m=-3$ nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 23-02-2015 - 11:59
- Lehalinhthcshb yêu thích
#8
Đã gửi 24-02-2015 - 03:43
Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng
1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$
2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$
- thanhmylam và ShenLongHkHT thích
#9
Đã gửi 24-02-2015 - 04:09
Bài 2: Cho a, b, c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1 & \\ a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1 & \end{matrix}\right.$
Tính tổng $S=a^{2013}+b^{2014}+c^{2015}$
- phuongthao244 và ShenLongHkHT thích
#10
Đã gửi 11-03-2015 - 18:04
Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng
1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$
2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$
1.a.
$a-b-c=0\Leftrightarrow a=b+c\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow (a^2-b^2-c^2)^2=4b^2c^2\Leftrightarrow \sum a^4=\sum 2a^2b^2\Leftrightarrow 2\sum a^4=(\sum a^2)^2$
1.b.
$a=b+c\Leftrightarrow a^5=b^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b+c^5\Leftrightarrow a^5-b^5-c^5=5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b\Leftrightarrow (a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+bc)\Leftrightarrow 2(a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+(b+c)^2)=5abc(a^2+b^2+c^2)$
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#11
Đã gửi 12-03-2015 - 06:03
Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.
a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$
b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên
#12
Đã gửi 12-03-2015 - 06:06
Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.
#13
Đã gửi 12-03-2015 - 13:13
Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.
a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$
b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên
a,
$f(f(x)+x)=f(x^2+bx+c+1)=(x^2+bx+c+x)^2+b(x^2+bx+c+x)+c=(x^2+bx+c)^2+2x(x^2+bx+c)+b(x^2+bx+c)+x^2+bx+c=(x^2+bx+c)(x^2+2x+b+bx+c+1)=(x^2+bx+c)((x+1)^2+b(x+1)+c)=f(x)f(x+1)$ $\Rightarrow Q.E.D$
b, Có: $f(2014^2+2014b+c+2014)=f(2014).f(2015)$
Đặt $2014^2+2014b+c+2014=k$ thì k nguyên và: $f(k)=f(2014).f(2015)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-03-2015 - 13:26
- tpdtthltvp yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#14
Đã gửi 12-03-2015 - 13:31
Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.
Bài 1: Xét đa thức $f(x)$. Dễ dàng CM : $a-b\mid f(a)-f(b)$ với a,b nguyên.
Như vậy: $23\mid f(26)-f(3)\rightarrow 23\mid -64$ (Vô lý)
Vậy không tồn tại.
- tpdtthltvp yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#15
Đã gửi 12-03-2015 - 14:11
Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.
Bài 2: Set: $f(x)=a_nx^n+..+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$
Có: $f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=1995$
ta có:
$f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=3.8^3+7.8^2+8+3$
Vậy: $f(x)=x^3+7x^2+x+3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 05:44
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#16
Đã gửi 13-03-2015 - 13:08
Bài 3: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn : $P(x)+P(\frac{1}{x})=x+\frac{1}{x}$ với mọi x khác 0
Bài 4: Tìm min của $A=\left | x-y \right |$ biết $9x^2+y^2=1$
Bài 5: Giải hệ theo tập nghiệm nguyên:
$\left\{\begin{matrix} x^2+13y^2=z^2 & & \\ 13x^2+y^2=t^2 & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 13:15
- Ngoc Hung yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#17
Đã gửi 14-03-2015 - 13:36
Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên
- hoctrocuaZel yêu thích
#18
Đã gửi 15-03-2015 - 06:02
Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên
Bài 6 : Ta có $A=\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}=\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{120}$
Dễ dàng thấy TS là 4 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8,3,5 hay tích của chúng chia hết cho 120
Vậy A là số tự nhiên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 15-03-2015 - 06:02
- Ngoc Hung, hoctrocuaHolmes và Tuan Duong thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#19
Đã gửi 15-03-2015 - 06:11
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi giá trị của n, đa thức $(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị n sao cho $x^{2n}+x^{n}+1$ chia hết cho $x^{2}+x+1$.
#20
Đã gửi 15-03-2015 - 06:17
Em xin giải quyết bài 4
Bài 4: Ta đặt $x-y=C$ $\Leftrightarrow y=x-C\Leftrightarrow 9x^2+(x-C)^2=1\Leftrightarrow 10x^2-2xC+C^2-1=0\Leftrightarrow \Delta ^{'}=C^2-10(C^2-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow C^2\leqslant \frac{10}{9}\Leftrightarrow A\geqslant -\frac{\sqrt{10}}{3}$
Dấu ''='' xảy ra $\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2=1 & & \\ y=-9x & & \end{matrix}\right.$
Giải hệ này ra...em nhác lắm
- Namthemaster1234 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh