Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic dành cho các mem ôn thi học sinh giỏi lớp 8


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 83 trả lời

#1 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 02-03-2012 - 19:42

Xin phép mọi người cho em mở topic này để dành cho các mem ôn thi học sinh giỏi lớp 8
Em sẽ mở đầu với vài bài toán
Bài 1: Tìm các số nguyên $m,n$ thoã mãn $m=\frac{n^2+n+1}{n+1}$
b) đặt $A=n^3+3n^2+5n+3$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dương của $n$.
c) Nếu $a$ chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì $a^2+b^2$ chia hết cho $13$
Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $
$b) \left [ \left ( x+\frac{1}{x} \right )^6-(x^6-\frac{1}{x^6}-2) \right ];\left [ (x+\frac{1}{x})^3+x^3+\frac{1}{x^3} \right ]$
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ đều, gọi M là trung điểm BC. Một góc $\widehat{xMy}=60^o$ quay quanh điểm M sao cho cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB,AC lần lượt tại D,E
Chứng minh
$a)BD.CE=\frac{BC^2}{4}$
b) DM,EM lần lượt phân giác của BDE và CED
c) chu vi tam giác ADE ko đổi
___
p:s em chỉ pót từng này thui hồi nựa em pót tiếp bây giờ đi học đạ
em mong topic này sẽ sôi nổi
@@@@@@@@@@@@

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 02-03-2012 - 19:51

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.

c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-03-2012 - 19:55

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 02-03-2012 - 19:56

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Câu 1 a) lớp 7 học đến kiểu này chưa nhỉ
$m=\frac{n^2+n+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\Rightarrow n+1\in \left \{ 1;-1 \right \}\iff n=0;-2\iff m=1;-3$
------------
P:S em chuyển sang box đại số được ko. Anh đi học đây hồi nựa xuống sẽ pót đề tiếp :D
@@@@@@@@@@@@

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 02-03-2012 - 22:26

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$

#5 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 05-03-2012 - 16:39

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$


Từ giả thiết thấy $x\neq 0$
$x(2008-x^{2007})=2007\Leftrightarrow 2008-x^{2007}=\frac{2007}{x}\Leftrightarrow x^{2007}+\frac{2007}{x}=2008$
Dễ thấy $x>0$, áp dụng BĐT AM-GM cho 2008 số, ta có:
$VT=x^{2007}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}(2007 số \frac{1}{x})\geq 2008\sqrt[2008]{x^{2007}.\frac{1}{x}.\frac{1}{x}...\frac{1}{x}}=2008=VP$
Giả thiết cho ở dấu bằng nên: $x^{2007}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1$(Loại $x=-1$ vì $x>0$)
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 05-03-2012 - 16:39

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#6 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 23-02-2015 - 10:53

Bài 2: Rút gọn biểu thức
$a)\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} $

 

$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-c)(b-a)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}-\frac{ac}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(a-c)(b-c)}=\frac{bc(b-c)+ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)}=1$



#7 Thu Huyen 21

Thu Huyen 21

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-02-2015 - 11:50

1. a) $m \in \mathbb{Z} \iff n+1 \mid n^2+n+1$
Do $n+1 \mid (n+1)^2$ hay $n+1 \mid n^2+2n+1$ nên $n+1 \mid (n^2+2n+1)-(n^2+n+1) \implies n+1 \mid n.$
Chỉ có thể $n=0 \implies m=1$.

b) $A=n^3+3n^2+5n+3= \left( n^3-n \right) +3(n^2+3+2n)$ $= (n-1)n(n+1)+3(n^2+3+2n)$ hiển nhiên chia hết cho $3$.

c) Đặt $a=13k+2, \; b=13p+3$. Ta có $a^2+b^2= (13k+2)^2+(13p+3)^2=169(k^2+p^2)+52k+78p+13$ chia hết cho $13.$
---------------------------------------------------
Em nghĩ anh không nên để topic này ở box Số học.

Bài 1a thiếu rồi, $n=-2; m=-3$ nữa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 23-02-2015 - 11:59


#8 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 24-02-2015 - 03:43

Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng

1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$

2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$



#9 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 24-02-2015 - 04:09

Bài 2: Cho a, b, c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1 & \\ a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=1 & \end{matrix}\right.$

Tính tổng $S=a^{2013}+b^{2014}+c^{2015}$



#10 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 11-03-2015 - 18:04

Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng

1) $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}=2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )$

2) $2\left ( a^{5}-b^{5}-c^{5} \right )=5abc\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

 

1.a.

$a-b-c=0\Leftrightarrow a=b+c\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow (a^2-b^2-c^2)^2=4b^2c^2\Leftrightarrow \sum a^4=\sum 2a^2b^2\Leftrightarrow 2\sum a^4=(\sum a^2)^2$

1.b.

$a=b+c\Leftrightarrow a^5=b^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b+c^5\Leftrightarrow a^5-b^5-c^5=5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5c^4b\Leftrightarrow (a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+bc)\Leftrightarrow 2(a^5-b^5-c^5)=5bc(b+c)(b^2+c^2+(b+c)^2)=5abc(a^2+b^2+c^2)$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#11 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 12-03-2015 - 06:03

Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.

a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$

b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên



#12 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 12-03-2015 - 06:06

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.

Bài 2Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.



#13 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 12-03-2015 - 13:13

Cho b, c là các số nguyên và $f(x)=x^{2}+bx+c$.

a) Chứng minh rằng $f\left [ f(x)+x \right ]=f(x).f(x+1)$

b) Chứng minh $f(k)=f(2014).f(2015)$ với mọi k nguyên

a,

$f(f(x)+x)=f(x^2+bx+c+1)=(x^2+bx+c+x)^2+b(x^2+bx+c+x)+c=(x^2+bx+c)^2+2x(x^2+bx+c)+b(x^2+bx+c)+x^2+bx+c=(x^2+bx+c)(x^2+2x+b+bx+c+1)=(x^2+bx+c)((x+1)^2+b(x+1)+c)=f(x)f(x+1)$  $\Rightarrow Q.E.D$

 

b, Có: $f(2014^2+2014b+c+2014)=f(2014).f(2015)$

 

Đặt $2014^2+2014b+c+2014=k$ thì k nguyên và: $f(k)=f(2014).f(2015)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 12-03-2015 - 13:26

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#14 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 12-03-2015 - 13:31

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.

Bài 2Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.

 

Bài 1: Xét đa thức $f(x)$. Dễ dàng CM : $a-b\mid f(a)-f(b)$ với a,b nguyên.

 

Như vậy: $23\mid f(26)-f(3)\rightarrow 23\mid -64$ (Vô lý)

 

Vậy không tồn tại.


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#15 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 12-03-2015 - 14:11

Bài 1: Có tồn tại hay không một đa thức f(x) mà f(26) = 1931 và f(3) = 1995 với f(x) có các hệ số đều nguyên.
Bài 2Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên không âm, tất cả các hệ số đều nhỏ hơn 8 và f(x) thỏa mãn f(8) = 1995.

Bài 2: Set: $f(x)=a_nx^n+..+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$
 
Có: $f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=1995$
 

 ta có:
 
$f(8)=8^n.a_n+...+8^3.a_3+8^2a_2+8a_1+a_0=3.8^3+7.8^2+8+3$

Vậy: $f(x)=x^3+7x^2+x+3$

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 05:44

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#16 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 13-03-2015 - 13:08

Bài 3: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn : $P(x)+P(\frac{1}{x})=x+\frac{1}{x}$ với mọi x khác 0

 

Bài 4: Tìm min của $A=\left | x-y \right |$ biết $9x^2+y^2=1$

 

Bài 5: Giải hệ theo tập nghiệm nguyên:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+13y^2=z^2 & & \\ 13x^2+y^2=t^2 & & \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 13-03-2015 - 13:15

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#17 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 14-03-2015 - 13:36

Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên



#18 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 15-03-2015 - 06:02

Bài 6: Chứng minh rằng $\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}$ là số tự nhiên với x là số tự nhiên

Bài 6 : Ta có $A=\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{7x^{3}}{24}+\frac{5x^{2}}{12}+\frac{x}{5}=\frac{x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x}{120}=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}{120}$

 

Dễ dàng thấy TS là 4 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8,3,5 hay tích của chúng chia hết cho 120

 

Vậy A là số tự nhiên
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 15-03-2015 - 06:02

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#19 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1533 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 15-03-2015 - 06:11

Bài 7Chứng minh rằng với mọi giá trị của n, đa thức $(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$

Bài 8Tìm tất cả các giá trị n sao cho $x^{2n}+x^{n}+1$ chia hết cho $x^{2}+x+1$.



#20 AnhNgoc030201

AnhNgoc030201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 15-03-2015 - 06:17

Em xin giải quyết bài 4

 

Bài 4: Ta đặt $x-y=C$ $\Leftrightarrow y=x-C\Leftrightarrow 9x^2+(x-C)^2=1\Leftrightarrow 10x^2-2xC+C^2-1=0\Leftrightarrow \Delta ^{'}=C^2-10(C^2-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow C^2\leqslant \frac{10}{9}\Leftrightarrow A\geqslant -\frac{\sqrt{10}}{3}$

Dấu ''='' xảy ra $\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2=1 & & \\ y=-9x & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ này ra...em nhác lắm >:)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh