Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x}.(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x} = 3y + \sqrt{y-1}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhelf96

thanhelf96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
Giải hệ phương trình:
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x}.(3\sqrt{x}-y)+x\sqrt{x} = 3y + \sqrt{y-1}$
và $\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x} = \frac{12y-8}{\sqrt{16+9x^2}}$

sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình  :icon6:


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} + \sqrt x .(3\sqrt x - y) + x\sqrt x = 3y + \sqrt {y - 1} \\
\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} = \frac{{12y - 8}}{{\sqrt {16 + 9{x^2}} }}
\end{array} \right.$$


Điều kiện: ...

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
$$\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} + 3x - \sqrt x y + x\sqrt x - 3y = 0$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{x - y}}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} }} + 3\left( {x - y} \right) + \sqrt x \left( {x - y} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} }} + 3 + \sqrt x } \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow x = y\,\,\left(\text{do}\,\,\, {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} }} + 3 + \sqrt x > 0} \right)$$
Khi đó phương trình thứ hai trở thành:
$$\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} = \frac{{12x - 8}}{{\sqrt {16 + 9{x^2}} }}$$
Và đây chính là bài phương trình trong đề thi thử số 2 của Diễn đàn Toán học VMF :D

Điều kiện: $ - 2 \le x \le 2\,\,\,\,(*)$

Vì $12x - 8 = 2\left[ {2x + 4 - 4\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 4} } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt {2 - x} } \right)}^2}} \right]$ nên phương trình đã cho tương đương với:
$$\left( {\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} } \right)\left( {2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} - \sqrt {9{x^2} + 16} } \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} - \sqrt {9{x^2} + 16} = 0\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow 2x + 4 = 8 - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$ thoả mãn $(*)$

$$(2) \Leftrightarrow 48 - 8x + 16\sqrt {8 - 2{x^2}} = 9{x^2} + 16 \Leftrightarrow 4\left( {8 - 2{x^2}} \right) + 16\sqrt {8 - 2{x^2}} - {x^2} - 8x = 0$$
Đặt $t = 2\sqrt {8 - 2{x^2}} ,t \ge 0$, ta được:
$${t^2} + 8t - {x^2} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = x\\
t = - x - 8
\end{array} \right.$$
$*\,\,t = x \Leftrightarrow 2\sqrt {8 - 2{x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le x \le 2\\
32 - 8{x^2} = {x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}$

$*\,\,t = - x - 8 \Leftrightarrow 2\sqrt {8 - 2{x^2}} + x + 8 = 0$ phương trình này vô nghiệm do $(*)$

Từ đó suy ra $y$ và kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm của hệ đã cho.
-----------------------------------------
Bạn cũng có thể tham khảo thêm một số cách giải khác qua bài làm của các thí sinh tham gia giải đề thi thử số 2 tại đây.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh