Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTLN: $$P=\sum \dfrac{1}{b^2+c^2+a}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Trần Hồng Sơn

Trần Hồng Sơn

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Đã gửi 02-03-2012 - 22:43

Cho a,b,c>0 và abc=1Tìm GTLN của P= $\dfrac{1} {b^2+c^2+a}$ + $\dfrac{1} {a^2+c^2+b}$ + $\dfrac{1} {b^2+a^2+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Hồng Sơn: 02-03-2012 - 22:49


#2 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 03-03-2012 - 22:15

Đặt $ a= \sqrt[3]{x},b= \sqrt[3]{y},c= \sqrt[3]{z}\Rightarrow xyz= 1$
Khi đó : $ P= \sum \frac{1}{y^{6}+z^{6}+x^{3}}$
Dễ dàng chúng minh : $ y^{6}+z^{6}\geq yz(y^{4}+z^{4})$
Suy ra : $ P\leq \sum \frac{1}{yz(y^{4}+z^{4})+x^{3}.xyz}= \sum \frac{1}{yz(x^{4}+y^{4}+z^{4})}= \frac{x}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
$ = \frac{x+y+z}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$
Áp dụng BDT : $ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
Ta có : $ x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{3}\geq \frac{(x+y+z)^{4}}{27}$
$ \Rightarrow P\leq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\leq \frac{27}{(3\sqrt[3]{abc})^{3}}= 1$
Vậy Min $\ P= 1$

#3 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 04-03-2012 - 13:01

Cho a,b,c>0 và abc=1Tìm GTLN của P= $\dfrac{1} {b^2+c^2+a}$ + $\dfrac{1} {a^2+c^2+b}$ + $\dfrac{1} {b^2+a^2+c}$

Chỉ cần Cauchy-Schwarz một cách đơn giản như thế này thôi ;)
$$(b^2+c^2+a)(1+1+a) \ge (a+b+c)^2$$
Suy ra:
$$P \le \frac{(a+b+c)+6}{(a+b+c)^2}$$
Ta sẽ chứng minh rằng:
$$\frac{(a+b+c)+6}{(a+b+c)^2} \le 1 \iff (a+b+c-3)(a+b+c+2) \ge 0$$
(Luôn đúng do $a+b+c \overset{AM-GM}{\ge} 3\sqrt[3]{abc}=3$)
Vậy ta có $P_{\max}=1 \iff a=b=c=1$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh