Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 môn Giải tích - ĐHKHTN, ĐHQGHN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012

Môn thi: Giải tích

Thời gian: 120 phút


Bài 1. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ thỏa mãn điều kiện $ \int_0^1 x^kP(x) \, \mathrm{d}x = 0, \quad k=1,2,\ldots,n $. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \big( P(x) \big)^2 \, \mathrm{d}x = (n+1)^2 \left( \int_0^1 P(x) \, \mathrm{d}x \right)^2 $$
Bài 2. Cho hàm số $f$ khả vi liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho $f(0)=0,f(1)=1$ và $\big| f'(x) \big| \le 2$ với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x > \frac{1}{8} $$
Bài 3. Cho dãy số thực $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện
$$ \lim_{n \to \infty} (2a_{n+1}-a_n) = 2012 $$
Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ hội tụ.

Bài 4. Cho hai hàm số $f$ và $g$ xác định và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Giả sử có tồn tại dãy số $\{x_n\}$ trong đoạn $[0,1]$ sao cho $f(x_n)=g(x_{n+1})$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $\alpha \in [0,1]$ sao cho $f(\alpha) = g(\alpha)$.

Bài 5. Tìm một hàm số $f$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
  • $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$ ($\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ);
  • $f(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$;
  • $f'$ không là hàm hằng.

--------------HẾT--------------



#2
peacemaker

peacemaker

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Đề thi chọn đội tuyển thi Olympic SV 2012 môn Đại số - ĐHKHTN - ĐHQGHN

Thời gian: 90'


Câu 1:
a/ Cho $p$ là một số nguyên tố, $\zeta _{p}=cos(\frac{2\pi }{p})+isin(\frac{2\pi}{p}) \in \mathbb{C}$ là một căn nguyên thủy bậc $p$ của đơn vị. Giả sử $\mathbb{Q}(\zeta _{p})={f(\zeta _{p})}$ với $f(X)$ là đa thứ có hệ số hữu tỷ. Chỉ ra rằng $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ là một không gian vectơ con (trên $\mathbb{Q}$) của $\mathbb{C}$, và tính số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
b/ Trong trường hợp tổng quát, không giả thiết n là số nguyên tố, hãy dự đốn số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{n})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
Câu 2:
Cho một đa thức $P(x)$ bậc n hệ số thực với hệ số của bậc cao nhất là 1. Hãy tìm một ma trận $n\times n$ hệ số thực có đa thức đặc trưng bằng $P(x)$.
Câu 3:
Với mỗi ma trận vuông A, ta định nghĩa:

$sinA=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$

Tồn tại hay không một ma trận vuông cấp 2 hệ số thực sao cho:

$sinA=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &2012 \\ 0&1 \end{smallmatrix}\bigr)$

Câu 4:
Xét dãy số $(x_n)$ thỏa mãn: $x_{n+2}=ax_n+bx_{n+1}$ với $a,b$ là các hằng số. Đặt $A_n=\bigl(\begin{smallmatrix} x_{n}\\x_{n+1} \end{smallmatrix}\bigr)$. Khi đó:

$A_{n+1}=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &1 \\a &b \end{smallmatrix}\bigr)A_n$

Hãy viết $A_n$ theo $A_1$, với gợi ý đó hãy tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci.
Rồi sẽ đến ngày...

...

VMF là trái tim của tôi...


#3
analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
problem 3. For all $\epsilon>0,\exists n_0$ such that $|2a_{n+1}-a_n-2012|<\epsilon,\forall n\geq n_0$. Hence,
$|2(a_{n+1}-2012)-(a_n-2012)|<\epsilon$
Implies
$|a_{n+1}-2012|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{1}{2}|a_n-2012| <\dots<\epsilon(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2^{n-n_0}})=\epsilon(1-(\dfrac{1}{2} )^{n-n_0})<\epsilon$
We have $\lim a_n=2012$

#4
analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Problem 2. Every $x\in[0,2]$, we have
$f(x)=f(x)-f(0)=f'(\theta_1)x,\theta_1\in(0,x)\geq-2x$
$f(x)-f(1)=f'(\theta_2)(x-1),\theta_2\in(x,1)\Rightarrow f(x)\geq 2x-1$.
So,
$\int_0^1f(x)dx=\int_0^\frac{1}{4}f(x)dx+\int_\frac{1}{4}^1f(x)dx
\geq \int_0^\frac{1}{4}-2xdx+\int_\frac{1}{4}^1 (2x-1)dx=\dfrac{1}{8}$
But $f(x)=\left\{\begin{matrix}
-2x &x\in[0,\frac{1}{4}] \\
2x-1&x\in[\frac{1}{4},1]
\end{matrix}\right.$
isn't continuous at $x=\dfrac{1}{4} $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi analysis90: 04-03-2012 - 22:03


#5
okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Câu 4 : Mình xin mạng phép giải bài này như sau: ( ĐẠI SỐ ) $A^{n}=\begin{bmatrix} & x_{n} & \\ & x_{n+1} & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& &1 \\ a& &b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} & x_{0} & \\ & x_{1}& \end{bmatrix} với A_{1}=\begin{bmatrix} & x_{0} & \\ & x_{1} & \end{bmatrix}$ suy ra $A^{n}= \begin{bmatrix} 0 & &1 \\ a & & b \end{bmatrix}A^{1}$ mình chỉ làm được tới đây pác nào pro chỉ giáo thêm! hẹn gặp ae ỡ Phú Yên nhé :ukliam2:

xn+2=axn+bx
n+1



#6
okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
sữa lại nãy làm thiếu $A^{n}=\begin{bmatrix} 0 & &1 \\ a & & b \end{bmatrix}^{n}A^{1}$ mọi người sữa lại chỗ này nhé :P

#7
Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
sai rồi, ma trận đó mũ n-1




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh