ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012
Môn thi: Giải tích
Thời gian: 120 phút
Bài 1. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ thỏa mãn điều kiện $ \int_0^1 x^kP(x) \, \mathrm{d}x = 0, \quad k=1,2,\ldots,n $. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \big( P(x) \big)^2 \, \mathrm{d}x = (n+1)^2 \left( \int_0^1 P(x) \, \mathrm{d}x \right)^2 $$
Bài 2. Cho hàm số $f$ khả vi liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho $f(0)=0,f(1)=1$ và $\big| f'(x) \big| \le 2$ với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x > \frac{1}{8} $$
Bài 3. Cho dãy số thực $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện
$$ \lim_{n \to \infty} (2a_{n+1}-a_n) = 2012 $$
Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ hội tụ.
Bài 4. Cho hai hàm số $f$ và $g$ xác định và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Giả sử có tồn tại dãy số $\{x_n\}$ trong đoạn $[0,1]$ sao cho $f(x_n)=g(x_{n+1})$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $\alpha \in [0,1]$ sao cho $f(\alpha) = g(\alpha)$.
Bài 5. Tìm một hàm số $f$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
- $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$ ($\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ);
- $f(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$;
- $f'$ không là hàm hằng.
--------------HẾT--------------