Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 môn Giải tích - ĐHKHTN, ĐHQGHN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 04-03-2012 - 16:29

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012

Môn thi: Giải tích

Thời gian: 120 phút


Bài 1. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ thỏa mãn điều kiện $ \int_0^1 x^kP(x) \, \mathrm{d}x = 0, \quad k=1,2,\ldots,n $. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \big( P(x) \big)^2 \, \mathrm{d}x = (n+1)^2 \left( \int_0^1 P(x) \, \mathrm{d}x \right)^2 $$
Bài 2. Cho hàm số $f$ khả vi liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho $f(0)=0,f(1)=1$ và $\big| f'(x) \big| \le 2$ với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x > \frac{1}{8} $$
Bài 3. Cho dãy số thực $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện
$$ \lim_{n \to \infty} (2a_{n+1}-a_n) = 2012 $$
Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ hội tụ.

Bài 4. Cho hai hàm số $f$ và $g$ xác định và liên tục trên đoạn $[0,1]$. Giả sử có tồn tại dãy số $\{x_n\}$ trong đoạn $[0,1]$ sao cho $f(x_n)=g(x_{n+1})$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng tồn tại một điểm $\alpha \in [0,1]$ sao cho $f(\alpha) = g(\alpha)$.

Bài 5. Tìm một hàm số $f$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
  • $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$ ($\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ);
  • $f(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$;
  • $f'$ không là hàm hằng.

--------------HẾT--------------



#2 peacemaker

peacemaker

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHQGHN

Đã gửi 04-03-2012 - 17:47

Đề thi chọn đội tuyển thi Olympic SV 2012 môn Đại số - ĐHKHTN - ĐHQGHN

Thời gian: 90'


Câu 1:
a/ Cho $p$ là một số nguyên tố, $\zeta _{p}=cos(\frac{2\pi }{p})+isin(\frac{2\pi}{p}) \in \mathbb{C}$ là một căn nguyên thủy bậc $p$ của đơn vị. Giả sử $\mathbb{Q}(\zeta _{p})={f(\zeta _{p})}$ với $f(X)$ là đa thứ có hệ số hữu tỷ. Chỉ ra rằng $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ là một không gian vectơ con (trên $\mathbb{Q}$) của $\mathbb{C}$, và tính số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
b/ Trong trường hợp tổng quát, không giả thiết n là số nguyên tố, hãy dự đốn số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{n})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
Câu 2:
Cho một đa thức $P(x)$ bậc n hệ số thực với hệ số của bậc cao nhất là 1. Hãy tìm một ma trận $n\times n$ hệ số thực có đa thức đặc trưng bằng $P(x)$.
Câu 3:
Với mỗi ma trận vuông A, ta định nghĩa:

$sinA=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$

Tồn tại hay không một ma trận vuông cấp 2 hệ số thực sao cho:

$sinA=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &2012 \\ 0&1 \end{smallmatrix}\bigr)$

Câu 4:
Xét dãy số $(x_n)$ thỏa mãn: $x_{n+2}=ax_n+bx_{n+1}$ với $a,b$ là các hằng số. Đặt $A_n=\bigl(\begin{smallmatrix} x_{n}\\x_{n+1} \end{smallmatrix}\bigr)$. Khi đó:

$A_{n+1}=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &1 \\a &b \end{smallmatrix}\bigr)A_n$

Hãy viết $A_n$ theo $A_1$, với gợi ý đó hãy tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci.
Rồi sẽ đến ngày...

...

VMF là trái tim của tôi...


#3 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 04-03-2012 - 20:38

problem 3. For all $\epsilon>0,\exists n_0$ such that $|2a_{n+1}-a_n-2012|<\epsilon,\forall n\geq n_0$. Hence,
$|2(a_{n+1}-2012)-(a_n-2012)|<\epsilon$
Implies
$|a_{n+1}-2012|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{1}{2}|a_n-2012| <\dots<\epsilon(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2^{n-n_0}})=\epsilon(1-(\dfrac{1}{2} )^{n-n_0})<\epsilon$
We have $\lim a_n=2012$

#4 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 04-03-2012 - 22:03

Problem 2. Every $x\in[0,2]$, we have
$f(x)=f(x)-f(0)=f'(\theta_1)x,\theta_1\in(0,x)\geq-2x$
$f(x)-f(1)=f'(\theta_2)(x-1),\theta_2\in(x,1)\Rightarrow f(x)\geq 2x-1$.
So,
$\int_0^1f(x)dx=\int_0^\frac{1}{4}f(x)dx+\int_\frac{1}{4}^1f(x)dx
\geq \int_0^\frac{1}{4}-2xdx+\int_\frac{1}{4}^1 (2x-1)dx=\dfrac{1}{8}$
But $f(x)=\left\{\begin{matrix}
-2x &x\in[0,\frac{1}{4}] \\
2x-1&x\in[\frac{1}{4},1]
\end{matrix}\right.$
isn't continuous at $x=\dfrac{1}{4} $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi analysis90: 04-03-2012 - 22:03


#5 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2012 - 01:09

Câu 4 : Mình xin mạng phép giải bài này như sau: ( ĐẠI SỐ ) $A^{n}=\begin{bmatrix} & x_{n} & \\ & x_{n+1} & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0& &1 \\ a& &b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} & x_{0} & \\ & x_{1}& \end{bmatrix} với A_{1}=\begin{bmatrix} & x_{0} & \\ & x_{1} & \end{bmatrix}$ suy ra $A^{n}= \begin{bmatrix} 0 & &1 \\ a & & b \end{bmatrix}A^{1}$ mình chỉ làm được tới đây pác nào pro chỉ giáo thêm! hẹn gặp ae ỡ Phú Yên nhé :ukliam2:

xn+2=axn+bx
n+1



#6 okbabi

okbabi

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-03-2012 - 01:17

sữa lại nãy làm thiếu $A^{n}=\begin{bmatrix} 0 & &1 \\ a & & b \end{bmatrix}^{n}A^{1}$ mọi người sữa lại chỗ này nhé :P

#7 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 18-03-2012 - 07:42

sai rồi, ma trận đó mũ n-1




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh